Упр.28.116 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.116. Докажите, что если x/a+y/b+z/c и a/x+b/y+c/z=0, то x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1.

Обозначим

$$u=\frac{x}{a}, \quad v=\frac{y}{b}, \quad w=\frac{z}{c}.$$

Тогда по условию

$$u+v+w=1,$$

а также

$$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0.$$

Умножим второе равенство на $$xyz$$:

$$ayz+bzx+cxy=0.$$

Теперь возведём в квадрат первое равенство:

$$\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{2xz}{ac}+\frac{2yz}{bc}=1.$$

Приведём сумму смешанных членов к общему знаменателю:

$$\frac{2xy}{ab}+\frac{2xz}{ac}+\frac{2yz}{bc}=\frac{2(xyc+xzb+yza)}{abc}.$$

Но из равенства $$ayz+bzx+cxy=0$$ следует

$$xyc+xzb+yza=0.$$

Значит, смешанные члены равны нулю, и остаётся

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Ответ

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$