Упр.28.114 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.114. Известно, что a^2-a-1=0. Докажите, что (a+1/a)(a^2+1/a^2)(a^4+1/a^4)…(a^2^(n-1)+1/a^2^(n-1))=a^2^n-1/a^2^n.

Обозначим

$$P_n=\left(a+\frac1a\right)\left(a^2+\frac1{a^2}\right)\left(a^4+\frac1{a^4}\right)\cdots\left(a^{2^{n-1}}+\frac1{a^{2^{n-1}}}\right).$$

Из условия $$a^2-a-1=0$$ получаем

$$a^2=a+1,$$

откуда

$$a^2-1=a.$$

Тогда

$$a-\frac1a=\frac{a^2-1}{a}=1,$$

значит

$$\frac1{a-\frac1a}=1.$$

Умножим и разделим каждый множитель произведения на $$a-\frac1a$$:

$$
\frac1{a-\frac1a}\left(a+\frac1a\right)
\cdot
\frac1{a-\frac1a}\left(a^2+\frac1{a^2}\right)
\cdots
\frac1{a-\frac1a}\left(a^{2^{n-1}}+\frac1{a^{2^{n-1}}}\right)
$$

Так как $$\frac1{a-\frac1a}=1,$$ то это не изменяет значение произведения. При этом

$$
\left(a-\frac1a\right)\left(a+\frac1a\right)=a^2-\frac1{a^2},
$$

$$
\left(a^2-\frac1{a^2}\right)\left(a^2+\frac1{a^2}\right)=a^4-\frac1{a^4},
$$

и вообще

$$
\left(a^{2^k}-\frac1{a^{2^k}}\right)\left(a^{2^k}+\frac1{a^{2^k}}\right)
=
a^{2^{k+1}}-\frac1{a^{2^{k+1}}}.
$$

Поэтому произведение последовательно сворачивается:

$$
\left(a+\frac1a\right)\left(a^2+\frac1{a^2}\right)\cdots\left(a^{2^{n-1}}+\frac1{a^{2^{n-1}}}\right)
=
a^{2^n}-\frac1{a^{2^n}}.
$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\left(a+\frac1a\right)\left(a^2+\frac1{a^2}\right)\left(a^4+\frac1{a^4}\right)\cdots\left(a^{2^{n-1}}+\frac1{a^{2^{n-1}}}\right)=a^{2^n}-\frac1{a^{2^n}}.$$