Упр.28.112 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.112. Докажите тождество (b-c)/((a-b)(a-c))+(c-a)/((b-c)(b-a))+(a-b)/((c-a)(c-b))=2/(a-b)+2/(b-c)+2/(c-a).

Преобразуем левую часть:

$$
\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}
$$

Так как $$b-a=-(a-b),\ c-a=-(a-c),\ c-b=-(b-c),$$ то

$$
\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{a-c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a-b}{(a-c)(b-c)}
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{(b-c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a-c)(b-c)}
$$

Раскроем квадраты:

$$
(b-c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2
$$
$$
=b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2+a^2-2ab+b^2
$$
$$
=2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
$$

Значит, левая часть равна

$$
\frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.
$$

Теперь преобразуем правую часть:

$$
\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}
=
\frac{2(b-c)(c-a)+2(a-b)(c-a)+2(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}.
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
2\bigl((b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)\bigr)
$$
$$
=2\bigl(bc-ab-c^2+ac+ac-a^2-bc+ab+ab-bc-b^2+bc\bigr)
$$
$$
=2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc).
$$

Следовательно, правая часть также равна

$$
\frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.
$$

Левая и правая части совпадают, значит тождество доказано.

Ответ

Тождество доказано.