Упр.28.111 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.111. Упростите выражение bc/((a+b)(a+c))+ca/((b+c)(b+a))+ab/((c+a)(c+b))+2bc/((b+c)(c+a)(a+b)).

Подробный ответ

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$
\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{2bc}{(b+c)(c+a)(a+b)}
$$
$$
=\frac{bc(b+c)+ca(a+c)+ab(a+b)+2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}.
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
bc(b+c)+ca(a+c)+ab(a+b)+2abc
$$
$$
=b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc.
$$

Сгруппируем слагаемые:

$$
(b^2c+ab^2)+(bc^2+abc)+(a^2b+abc)+(a^2c+ac^2)
$$
$$
=b(bc+ab)+c(bc+ac)+a(ab+bc)+c(ac+bc).
$$

Удобнее сразу вынести общий множитель:

$$
b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc
=(a+b)(a+c)(b+c).
$$

Тогда исходное выражение равно

$$
\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)}=1.
$$