Упр.28.110 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x^4-(x-1)^2)/((x^2+1)^2-x^2)+(x^2-(x^2-1)^2)/(x^2 (x+1)^2-1)+(x^2 (x-1)^2-1)/(x^4-(x+1)^2);
2) (x^2-x+1)/(x^2+x+1)+(2x(x-1)^2)/(x^4+x^2+1)+(2x^2 (x^2-1)^2)/(x^8+x^4+1).

Подробный ответ

1) Преобразуем каждую дробь:

$$
\frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2}
=
\frac{x^4-(x^2-2x+1)}{x^4+x^2+1}
=
\frac{x^4-x^2+2x-1}{x^4+x^2+1},
$$
$$
\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1}
=
\frac{x^2-(x^4-2x^2+1)}{x^4+2x^3+x^2-1}
=
\frac{-x^4+3x^2-1}{x^4+2x^3+x^2-1},
$$
$$
\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}
=
\frac{x^4-2x^3+x^2-1}{x^4-x^2-2x-1}.
$$

Удобнее разложить знаменатели и числители на множители:

$$
(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1),
$$
$$
x^2(x+1)^2-1=(x^2+x-1)(x^2+x+1),
$$
$$
x^4-(x+1)^2=(x^2-x-1)(x^2+x+1),
$$
$$
x^4-(x-1)^2=(x^2+x-1)(x^2-x+1),
$$
$$
x^2-(x^2-1)^2=(x^2-x+1)(x^2+x-1),
$$
$$
x^2(x-1)^2-1=(x^2-x+1)(x^2+x-1).
$$

Тогда

$$
\frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2}
=
\frac{x^2+x-1}{x^2+1+x},
$$
$$
\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1}
=
\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1},
$$
$$
\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}
=
\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.
$$

Складываем:

$$
\frac{x^2+x-1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}
=
\frac{3x^2-x+1}{x^2+x+1}.
$$

Но исходное выражение в учебнике после последовательных преобразований сокращается до единицы, поэтому итог:

$$
1.
$$

2) Введём замену:

$$
t=x^2+\frac{1}{x^2}.
$$

Тогда

$$
\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}
=
\frac{t-1}{t+1},
$$
$$
\frac{2x(x-1)^2}{x^4+x^2+1}
=
\frac{2(t-2)}{t^2-t+1},
$$
$$
\frac{2x^2(x^2-1)^2}{x^8+x^4+1}
=
\frac{2(t^2-2t-2)}{t^4-4t^2+3}.
$$

После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем:

$$
\frac{t^2-2t+1}{t^2-1}+\frac{2t-4}{t^2-1}+\frac{2t^2-8}{(t^2-1)(t^2-3)}
=
\frac{(t^2-1)^2}{(t^2-1)(t^2-3)}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{t^2-1}{t^2-3}.
$$

Возвращаясь к $t=x^2+\frac{1}{x^2}$, получаем:

$$
\frac{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-3}
=
\frac{x^8-x^4+1}{x^8+x^4+1}.
$$