Упр.28.109 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (a^2-b^2-(4a^2 b-4ab^2)/(a+b))(a/(a+b)-b/(b-a)-2ab/(a^2-b^2))^(-1)=(a-b)^2;
2) 3xyz/(xy+yz+zx)+((1-x)/x+(1-y)/y+(1-z)/z)/(1/x+1/y+1/z)=1.

1. Преобразуем выражение в левой части:
   $$a^2-b^2-\frac{4a^2b-4ab^2}{a+b}=\frac{(a^2-b^2)(a+b)-4a^2b+4ab^2}{a+b}.$$
   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ получаем
   $$
   \frac{(a-b)(a+b)^2-4ab(a-b)}{a+b}
   =\frac{(a-b)\bigl((a+b)^2-4ab\bigr)}{a+b}
   =\frac{(a-b)^3}{a+b}.
   $$

   Второй множитель:
   $$
   \frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}
   =\frac{a(b-a)-b(a+b)-2ab}{(a+b)(b-a)}.
   $$
   Учитывая $$b-a=-(a-b)$$ и $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ приводим к виду
   $$
   \frac{a(a-b)+b(a+b)-2ab}{a^2-ab+ab+b^2-2ab}
   =\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}
   =\frac{a-b}{a+b}.
   $$

   Тогда всё выражение равно
   $$
   \frac{(a-b)^3}{a+b}\cdot\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-1}
   =\frac{(a-b)^3}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a-b}
   =(a-b)^2.
   $$

2. Преобразуем дробь:
   $$
   \frac{(1-x)/x+(1-y)/y+(1-z)/z}{1/x+1/y+1/z}
   =\frac{\left(\frac1x-1\right)+\left(\frac1y-1\right)+\left(\frac1z-1\right)}{\frac1x+\frac1y+\frac1z}.
   $$
   Тогда
   $$
   \frac{\frac1x+\frac1y+\frac1z-3}{\frac1x+\frac1y+\frac1z}
   =1-\frac{3}{\frac1x+\frac1y+\frac1z}.
   $$

   Так как
   $$
   \frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac{xy+yz+zx}{xyz},
   $$
   то
   $$
   \frac{3xyz}{xy+yz+zx}+\frac{(1-x)/x+(1-y)/y+(1-z)/z}{1/x+1/y+1/z}
   =\frac{3xyz}{xy+yz+zx}+1-\frac{3xyz}{xy+yz+zx}=1.
   $$

Ответ

1) $$\left(a^2-b^2-\frac{4a^2b-4ab^2}{a+b}\right)\left(\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)^{-1}=(a-b)^2;$$
2) $$\frac{3xyz}{xy+yz+zx}+\frac{(1-x)/x+(1-y)/y+(1-z)/z}{1/x+1/y+1/z}=1.$$