Упр.28.107 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/(x-2/(x-1)); 2) (x+1)/(1/x-1/(2x+1)).

1. Найдём область определения выражения

   $$\frac{1}{x-\frac{2}{x-1}}.$$

   Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, а также должно выполняться $$x-1\ne 0.$$

   $$x-\frac{2}{x-1}\ne 0,$$
   $$\frac{x(x-1)-2}{x-1}\ne 0,$$
   $$\frac{x^2-x-2}{x-1}\ne 0,$$
   $$\frac{(x+1)(x-2)}{x-1}\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ne -1,\quad x\ne 1,\quad x\ne 2.$$

   Следовательно,

   $$D=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty).$$

2. Найдём область определения выражения

   $$\frac{x+1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{2x+1}}.$$

   Требуется, чтобы были определены все дроби и знаменатель всей дроби не равнялся нулю:

   $$x\ne 0,$$
   $$2x+1\ne 0,$$
   $$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x+1}\ne 0.$$

   $$\frac{2x+1-x}{x(2x+1)}\ne 0,$$
   $$\frac{x+1}{x(2x+1)}\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ne -1,\quad x\ne -\frac12,\quad x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$D=(-\infty;-1)\cup(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty).$$

2) $$(-\infty;-1)\cup(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;0)\cup(0;+\infty).$$