Упр.28.106 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.106. Упростите выражение 1/(x(x+4))+1/((x+4)(x+8))+1/((x+8)(x+12))+1/((x+12)(x+16)).

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$
\frac{1}{x(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+8)}+\frac{1}{(x+8)(x+12)}+\frac{1}{(x+12)(x+16)}
$$
$$
=\frac{x+8+x}{x(x+4)(x+8)}+\frac{x+16+x+8}{(x+8)(x+12)(x+16)}
$$
$$
=\frac{2(x+4)}{x(x+4)(x+8)}+\frac{2(x+12)}{(x+8)(x+12)(x+16)}
$$
$$
=\frac{2}{x(x+8)}+\frac{2}{(x+8)(x+16)}
$$
$$
=\frac{2(x+16)+2x}{x(x+8)(x+16)}
=\frac{4(x+8)}{x(x+8)(x+16)}
=\frac{4}{x(x+16)}.
$$

При этом $$x\neq 0,-4,-8,-12,-16.$$

Ответ

$$
\frac{4}{x(x+16)}
$$