Упр.28.105 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2/(x-y)-y)·(x+y^2/(x+y))^(-1);
2) (a/8+1/(6a)+1/3)·((a+2)/(12a))^(-1)·(3a+2)^(-1);
3) (x/y-y/x)(x/y+y/x-2)^(-1) ((1+y/x) x/(x-y))^(-2);
4) ((x+9)/(x+7))^(-1)+((x+7)/(x^2+81-18x)+(x+5)/(x^2-81)) ((x+3)/(x-9))^(-2).

1. $$\left(\frac{x^2}{x-y}-y\right)\cdot\left(x+\frac{y^2}{x+y}\right)^{-1}$$

   Преобразуем каждую скобку:
   $$\frac{x^2-y(x-y)}{x-y}\cdot\frac{x+y}{x(x+y)+y^2}$$
   $$=\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\cdot\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}$$
   $$=\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}.$$

2. $$\left(\frac{a}{8}+\frac{1}{6a}+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1}\cdot(3a+2)^{-1}$$

   $$\frac{18a^2+24+48a}{144a}\cdot\frac{12a}{a+2}\cdot\frac{1}{3a+2}$$
   $$=\frac{6(3a+2)(a+2)}{12(a+2)(3a+2)}=\frac12.$$

3. $$\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)^{-1}\left(\left(1+\frac{y}{x}\right)\frac{x}{x-y}\right)^{-2}$$

   $$\frac{x^2-y^2}{xy}\cdot\frac{xy}{x^2+y^2-2xy}\cdot\left(\frac{x+y}{x}\cdot\frac{x}{x-y}\right)^{-2}$$
   $$=\frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2}\cdot\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}=\frac{x-y}{x+y}.$$

4. $$\left(\frac{x+9}{x+7}\right)^{-1}+\left(\frac{x+7}{x^2+81-18x}+\frac{x+5}{x^2-81}\right)\left(\frac{x+3}{x-9}\right)^{-2}$$

   $$\frac{x+7}{x+9}+\left(\frac{x+7}{(x-9)^2}+\frac{x+5}{(x-9)(x+9)}\right)\cdot\frac{(x-9)^2}{(x+3)^2}$$
   $$=\frac{x+7}{x+9}+\frac{(x+7)(x+9)+(x+5)(x-9)}{(x+9)(x+3)^2}$$
   $$=\frac{x+7}{x+9}+\frac{2x^2+12x+18}{(x+9)(x+3)^2}$$
   $$=\frac{x+7}{x+9}+\frac{2(x+3)^2}{(x+9)(x+3)^2}=1.$$

Ответ

1) $$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$$; 2) $$\frac12$$; 3) $$\frac{x-y}{x+y}$$; 4) $$1$$.