Упр.28.104 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (2x/(1-3y)+2x/(3y+1)) : (4x^2+14x)/(9y^2+1-6y);
2) (x^3-y^3)/(2y) (2y/(4-2y-2x+xy)+(2xy+4y)/((x-y)(x^2-4)));
3) (1/a^2+1/b^2+2/(a+b) (1/a+1/b)) : (a+b)^2/(ab);
4) (1/a+1/(b+c))/(1/a-1/(b+c)) (1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc)).

1. $$\left(\frac{2x}{1-3y}+\frac{2x}{3y+1}\right):\frac{4x^2+14x}{9y^2+1-6y}$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке и разложим на множители:
   $$\frac{2x(3y+1)+2x(1-3y)}{(1-3y)(1+3y)}:\frac{4x(x+\frac{7}{2})}{(3y-1)^2}$$

   $$\frac{2x\bigl((3y+1)+(1-3y)\bigr)}{(1-3y)(1+3y)}:\frac{4x(x+\frac{7}{2})}{(1-3y)^2}
   =\frac{4x}{(1-3y)(1+3y)}:\frac{4x(2x+7)}{2(1-3y)^2}$$

   После деления на дробь умножаем на обратную:
   $$\frac{4x}{(1-3y)(1+3y)}\cdot \frac{2(1-3y)^2}{4x(2x+7)}=\frac{2(1-3y)}{(1+3y)(2x+7)}$$

2. $$\frac{x^3-y^3}{2y}\left(\frac{2y}{4-2y-2x+xy}+\frac{2xy+4y}{(x-y)(x^2-4)}\right)$$

   Разложим выражения в скобках:
   $$4-2y-2x+xy=(2-x)(2-y), \qquad x^2-4=(x-2)(x+2),$$
   $$2xy+4y=2y(x+2).$$

   Тогда
   $$\frac{x^3-y^3}{2y}\left(\frac{2y}{(2-x)(2-y)}+\frac{2y(x+2)}{(x-y)(x-2)(x+2)}\right)$$

   Сократим:
   $$\frac{x^3-y^3}{2y}\left(\frac{2y}{(2-x)(2-y)}+\frac{2y}{(x-y)(x-2)}\right)$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{x^3-y^3}{2y}\cdot
   \frac{2y(x-y)+2y(2-y)}{(2-x)(2-y)(x-y)(x-2)}$$

   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \qquad 2-x=-(x-2),$$
   поэтому после сокращения получаем
   $$\frac{x^2+xy+y^2}{y-2}.$$

3. $$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a+b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right):\frac{(a+b)^2}{ab}$$

   Упростим выражение в скобках:
   $$\frac{2}{a+b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2}{a+b}\cdot \frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}.$$

   Тогда
   $$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right):\frac{(a+b)^2}{ab}
   =\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2b^2}\cdot \frac{ab}{(a+b)^2}.$$

   Так как $$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2,$$ то
   $$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}\cdot \frac{ab}{(a+b)^2}=\frac{1}{ab}.$$

4. $$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c}}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$

   Преобразуем первую дробь:
   $$\frac{\frac{b+c+a}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}}=\frac{b+c+a}{b+c-a}.$$

   Второй множитель:
   $$1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}
   =\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}.$$

   Разложим разность квадратов:
   $$\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}.$$

   Тогда
   $$\frac{b+c+a}{b+c-a}\cdot \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}
   =\frac{(b+c+a)^2}{2bc}.$$

Ответ

1) $$\frac{2(1-3y)}{(1+3y)(2x+7)}$$;
2) $$\frac{x^2+xy+y^2}{y-2}$$;
3) $$\frac{1}{ab}$$;
4) $$\frac{(a+b+c)^2}{2bc}$$.