Упр.27.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(2x+4) > x+3; 3) v((x^3+8)/x) > x-2.
2) v(2x^2+5x-6) > 2-x;

Подробный ответ

$$\sqrt{2x+4}>x+3.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x+3\ge 0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:
$$
2x+4>(x+3)^2
$$
$$
2x+4>x^2+6x+9
$$
$$
x^2+4x+5<0.
$$
Но
$$
D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0,
$$
а старший коэффициент положителен, значит $$x^2+4x+5>0$$ при всех $$x.$$ Решений нет.
2) Если $$x+3<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая часть $$\sqrt{2x+4}\ge 0.$$ Тогда неравенство возможно только при $$\sqrt{2x+4}>0,$$ то есть при $$2x+4>0.$$ Получаем систему:
$$
\begin{cases}
x+3<0,\\
2x+4>0.
\end{cases}
$$
Отсюда $$x<-3$$ и $$x>-2,$$ что невозможно.
Следовательно, решений нет.
$$\sqrt{2x^2+5x-6}>2-x.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$2-x\ge 0,$$ то возводим в квадрат:
$$
2x^2+5x-6>(2-x)^2
$$
$$
2x^2+5x-6&gt{x^2-4x+4
}
$$
$$
x^2+9x-10>0.
$$
$$
x^2+9x-10=(x+10)(x-1),
$$
поэтому
$$
x<-10 \quad \text{или} \quad x>1.
$$
С учётом условия $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2,$$ получаем:
$$
x<-10 \quad \text{или} \quad 1<x\le 2.
$$
2) Если $$2-x<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая часть неотрицательна при выполнении области определения. Тогда неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых
$$
2x^2+5x-6\ge 0
$$
и
$$
x>2.
$$
Решим квадратное неравенство:
$$
2x^2+5x-6=0,
$$
$$
D=5^2-4\cdot 2\cdot(-6)=25+48=73,
$$
$$
x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{73}}{4}.
$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$
2x^2+5x-6\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le \frac{-5-\sqrt{73}}{4} \ \text{или} \ x\ge \frac{-5+\sqrt{73}}{4}.
$$
С учётом условия $$x>2$$ получаем просто $$x>2.$$
Итак,
$$
x<-10 \quad \text{или} \quad x>1.
$$
Но при $$x>1$$ исходное неравенство уже выполняется, а при $$x\le 1$$ остаётся только найденный промежуток $$x<-10.$$ В итоге:
$$
x\in(-\infty;-10]\cup[1;+\infty).
$$
$$\sqrt{\frac{x^3+8}{x}}>x-2.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x-2\ge 0,$$ то возводим в квадрат:
$$
\frac{x^3+8}{x}>(x-2)^2
$$
$$
x^3+8>x(x^2-4x+4)
$$
$$
x^3+8>x^3-4x^2+4x
$$
$$
4x^2-4x+8>0
$$
$$
x^2-x+2>0.
$$
$$
D=1-8=-7<0,
$$
а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-x+2>0$$ при всех $$x.$$ Тогда при $$x\ge 2$$ неравенство выполняется.
2) Если $$x-2<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая часть неотрицательна. Значит, неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых выражение под корнем определено:
$$
\frac{x^3+8}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.
$$
Разложим числитель:
$$
\frac{x^3+8}{x}=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x}.
$$
Так как $$x^2-2x+4>0$$ при всех $$x,$$ знак дроби определяется выражением $$\frac{x+2}{x}.$$ Тогда
$$
\frac{x+2}{x}\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x\in(-\infty;-2]\cup(0;+\infty).
$$
С учётом случая $$x<2$$ получаем $$x\in(-\infty;-2]\cup(0;2).$$
Объединяя с первым случаем $$x\ge 2,$$ имеем
$$
x\in(-\infty;-2]\cup(0;+\infty).
$$