Упр.27.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x+4 > 2v(4-x^2); 3) v((x-3)(2-x)) < 3+2x. 2) v(x^2-3x-18) < 4-x;

Подробный ответ

$$x+4>2\sqrt{4-x^2}$$
Возведём обе части в квадрат. При этом учитываем, что правая часть неотрицательна, значит $$x+4>0$$:
$$
(x+4)^2>4(4-x^2)
$$
$$
x^2+8x+16>16-4x^2
$$
$$
5x^2+8x>0
$$
$$
x(5x+8)>0
$$
Отсюда:
$$
x<-\frac85 \quad \text{или} \quad x>0
$$
Теперь учтём область определения и условие $$x+4>0$$:
$$
4-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad -2\le x\le 2
$$
Пересекаем полученные промежутки:
$$
x\in\left[-2;-\frac85\right)\cup(0;2]
$$
$$\sqrt{x^2-3x-18}\le 4-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо:
$$
4-x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 4
$$
Возведём обе части в квадрат:
$$
x^2-3x-18\le (4-x)^2
$$
$$
x^2-3x-18\le x^2-8x+16
$$
$$
5x\le 34
$$
$$
x\le \frac{34}{5}
$$
Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$
x^2-3x-18\ge 0
$$
$$
(x+3)(x-6)\ge 0
$$
$$
x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 6
$$
С учётом $$x\le 4$$ остаётся:
$$
x\le -3
$$
$$\sqrt{(x-3)(2-x)}<3+2x$$
Чтобы неравенство имело смысл, нужно:
$$
3+2x>0 \quad \Rightarrow \quad x>-\frac32
$$
Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$
(x-3)(2-x)\ge 0
$$
$$
(x-3)(x-2)\le 0
$$
$$
2\le x\le 3
$$
На этом промежутке правая часть положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$$
(x-3)(2-x)<(3+2x)^2
$$
После преобразований получаем тождественно верное неравенство, значит решение определяется только областью допустимых значений:
$$
x\in[2;3]
$$