Упр.27.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(x+7) < x; 3) v(5-|x+1|) < 2+x. 2) v(x^2-3x-10) < 8-x;

Подробный ответ

$$\sqrt{x+7}<x$$
Чтобы корень был определён и правая часть была положительной, нужно:
$$x>0,\quad x+7\ge 0.$$
При этих условиях можно возвести обе части в квадрат:
$$x+7<x^2$$
$$x^2-x-7>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=1+28=29,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{29}}{2}.$$
Тогда
$$x<\frac{1-\sqrt{29}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{29}}{2}.$$
С учётом условия $$x>0$$ остаётся:
$$x>\frac{1+\sqrt{29}}{2}.$$
$$\sqrt{x^2-3x-10}<8-x$$
Для существования решения нужно, чтобы правая часть была положительной:
$$8-x>0,\quad x<8.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-3x-10<(8-x)^2$$
$$x^2-3x-10<x^2-16x+64$$
$$13x<74,$$
$$x<\frac{74}{13}.$$
Теперь учтём область определения корня:
$$x^2-3x-10\ge 0$$
$$ (x-5)(x+2)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -2 \quad \text{или}\quad x\ge 5.$$
Пересекаем с условиями $$x<8$$ и $$x<\frac{74}{13}$$:
$$x\in(-\infty,-2]\cup[5,\tfrac{74}{13}).$$
$$\sqrt{5-|x+1|}\le 2+x$$
Для существования корня и неотрицательности правой части нужно:
$$5-|x+1|\ge 0,\quad 2+x\ge 0.$$
То есть
$$|x+1|\le 5,\quad x\ge -2.$$
Из первого неравенства:
$$-5\le x+1\le 5,$$
$$-6\le x\le 4.$$
Пересекаем с $$x\ge -2$$:
$$-2\le x\le 4.$$
Теперь возведём обе части в квадрат:
$$5-|x+1|\le (x+2)^2$$
Но при найденных ограничениях это неравенство выполняется для всех $$x$$ из промежутка $$[-2;4]$$, поэтому
$$x\in[-2;4].$$