Упр.27.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x^2-7x+5) > v(3x-4); 3) v((2x-3)/(4x-1)) > v((x-2)/(x+2));
2) v(x^2+5x) < v(1-x^2+4x); 4) v(3-x) > v(1/(2-x)).

1. $$\sqrt{x^2-7x+5}\ge \sqrt{3x-4}$$

   Возведём обе части в квадрат, учитывая ОДЗ:
   $$x^2-7x+5\ge 3x-4,$$
   $$x^2-10x+9\ge 0,$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-9\right)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\le 1 \text{ или } x\ge 9.$$

   Кроме того, должно выполняться
   $$3x-4\ge 0,\quad x\ge \frac43.$$
   Пересекаем с найденным множеством:
   $$x\ge 9.$$

2. $$\sqrt{x^2+5x}<\sqrt{1-x^2+4x}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^2+5x<1-x^2+4x,$$
   $$2x^2+x-1<0,$$
   $$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)<0.$$
   Тогда
   $$-1<x<\frac12.$$

   Учитываем ОДЗ:
   $$x^2+5x\ge 0,$$
   $$x\left(x+5\right)\ge 0,$$
   $$x\le -5 \text{ или } x\ge 0.$$
   Пересечение даёт
   $$0\le x<\frac12.$$

3. $$\sqrt{\frac{2x-3}{4x-1}}\ge \sqrt{\frac{x-2}{x+2}}$$

   Сначала решим неравенство под корнями:
   $$\frac{2x-3}{4x-1}\ge \frac{x-2}{x+2}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(2x-3)(x+2)-(x-2)(4x-1)}{(4x-1)(x+2)}\ge 0,$$
   $$\frac{-2x^2+10x-8}{(4x-1)(x+2)}\ge 0,$$
   $$\frac{x^2-5x+4}{(4x-1)(x+2)}\le 0,$$
   $$\frac{(x-1)(x-4)}{(4x-1)(x+2)}\le 0.$$

   ОДЗ:
   $$\frac{x-2}{x+2}\ge 0,$$
   откуда
   $$x<-2 \text{ или } x\ge 2.$$
   С учётом знаков дроби получаем
   $$2\le x\le 4.$$

4. $$\sqrt{3-x}\ge \sqrt{\frac{1}{2-x}}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$3-x\ge \frac{1}{2-x}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(3-x)(2-x)-1}{2-x}\ge 0,$$
   $$\frac{x^2-5x+5}{x-2}\le 0.$$
   Найдём корни числителя:
   $$x^2-5x+5=0,$$
   $$D=25-20=5,$$
   $$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt5}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{x^2-5x+5}{x-2}\le 0$$
   выполняется при
   $$x\in \left(-\infty,\frac{5-\sqrt5}{2}\right]\cup \left(2,\frac{5+\sqrt5}{2}\right].$$

   Учитываем ОДЗ:
   $$3-x\ge 0,\quad \frac{1}{2-x}\ge 0,$$
   откуда
   $$x<2.$$
   Пересечение даёт
   $$x\in \left(-\infty,\frac{5-\sqrt5}{2}\right].$$

Ответ

1) $$[9;+\infty)$$;
2) $$\left[0;\frac12\right)$$;
3) $$[2;4]$$;
4) $$\left(-\infty;\frac{5-\sqrt5}{2}\right]$$.