Упр.27.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(2x^2+5x-6) > v(-x-3); 3) v(2x^2+6x+3) > v(-x^2-4x);
2) v(x+2) > v(8-x^2); 4) v((8-x)/(x-10)) < v(2/(2-x)).

Подробный ответ

$$\sqrt{2x^2+5x-6}>\sqrt{-x-3}$$
Для существования корней нужно:
$$2x^2+5x-6\ge 0,\qquad -x-3\ge 0.$$
Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то неравенство равносильно системе
$$
\begin{cases}
2x^2+5x-6>-x-3,\\
-x-3\ge 0.
\end{cases}
$$
Решим первое неравенство:
$$
2x^2+6x-3>0.
$$
Найдём корни уравнения $$2x^2+6x-3=0$$:
$$
D=6^2-4\cdot 2\cdot(-3)=36+24=60,
$$
$$
x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}.
$$
Тогда
$$
x<\frac{-3-\sqrt{15}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{-3+\sqrt{15}}{2}.
$$
Из условия области определения имеем $$x\le -3$$. Пересечение даёт
$$x<\frac{-3-\sqrt{15}}{2}.$$
$$\sqrt{x+2}>\sqrt{8-x^2}$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\qquad 8-x^2\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, получаем систему
$$
\begin{cases}
x+2>8-x^2,\\
8-x^2\ge 0.
\end{cases}
$$
Первое неравенство:
$$
x^2+x-6>0,
$$
$$
(x+3)(x-2)>0,
$$
откуда $$x<-3$$ или $$x>2$$.
Второе неравенство:
$$
x^2\le 8,\qquad -2\sqrt{2}\le x\le 2\sqrt{2}.
$$
Пересечение решений:
$$x\in(2,2\sqrt{2}].$$
$$\sqrt{2x^2+6x+3}>\sqrt{-x^2-4x}$$
Область определения:
$$2x^2+6x+3\ge 0,\qquad -x^2-4x\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, то
$$
\begin{cases}
2x^2+6x+3>-x^2-4x,\\
-x^2-4x\ge 0.
\end{cases}
$$
Первое неравенство:
$$
3x^2+10x+3>0.
$$
Найдём корни уравнения $$3x^2+10x+3=0$$:
$$
D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,
$$
$$
x=\frac{-10\pm 8}{6},
\qquad x_1=-3,\quad x_2=-\frac13.
$$
Тогда
$$x<-3\quad \text{или}\quad x>-\frac13.$$
Второе неравенство:
$$
-x^2-4x\ge 0,
$$
$$
x^2+4x\le 0,
$$
$$
x(x+4)\le 0,
$$
откуда $$-4\le x\le 0.$$
Пересечение решений:
$$x\in[-4,-3)\cup\left(-\frac13,0\right].$$
$$\sqrt{\frac{8-x}{x-10}}\le \sqrt{\frac{2}{2-x}}$$
Для существования корней нужно:
$$
\frac{8-x}{x-10}\ge 0,\qquad \frac{2}{2-x}\ge 0.
$$
Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, то
$$
\frac{8-x}{x-10}\le \frac{2}{2-x}.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{(8-x)(2-x)-2(x-10)}{(x-10)(2-x)}\le 0.
$$
Числитель:
$$
(8-x)(2-x)-2(x-10)=x^2-12x+36=(x-6)^2.
$$
Получаем
$$
\frac{(x-6)^2}{(x-10)(2-x)}\le 0.
$$
Так как числитель неотрицателен, то неравенство возможно только при
$$
(x-6)^2=0 \quad \text{или} \quad \frac{(x-6)^2}{(x-10)(2-x)}<0.
$$
Но при $$x=6$$ подкоренные выражения не определены, а при $$x\ne 6$$ дробь не может быть отрицательной, если числитель положителен и знаменатель должен удовлетворять области определения. Проверка области определения даёт противоречие, поэтому решений нет.