Упр.27.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) |4x^2-1| < x+2; 2) |(3x+1)/(x-5)| > 1; 3) |x^2-3x| > x+5.

Подробный ответ

$$|4x^2-1|<x+2$$
Так как модуль неотрицателен, то правая часть должна быть положительной:
$$x+2>0,$$
$$x>-2.$$
Рассмотрим два неравенства:
$$4x^2-1<x+2,$$
$$4x^2-x-3<0.$$
Найдём корни:
$$D=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{8},$$
$$x_1=-\frac34,\quad x_2=1.$$
Тогда
$$-\frac34<x<1.$$
Второе неравенство:
$$4x^2-1>-(x+2),$$
$$4x^2+x+1>0.$$
Дискриминант:
$$D=1-16=-15<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$4x^2+x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.
С учётом условия $$x>-2$$ получаем:
$$-\frac34<x<1.$$
$$\left|\frac{3x+1}{x-5}\right|>1,$$
$$x\ne 5.$$
Это равносильно системе двух неравенств:
$$\frac{3x+1}{x-5}>1 \quad \text{или} \quad \frac{3x+1}{x-5}<-1.$$
Первое:
$$\frac{3x+1-(x-5)}{x-5}>0,$$
$$\frac{2x+6}{x-5}>0,$$
$$\frac{x+3}{x-5}>0.$$
Отсюда
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>5.$$
Второе:
$$\frac{3x+1+(x-5)}{x-5}<0,$$
$$\frac{4x-4}{x-5}<0,$$
$$\frac{x-1}{x-5}<0.$$
Отсюда
$$1<x<5.$$
Объединяя, получаем:
$$(-\infty;-3)\cup[1;5)\cup(5;+\infty).$$
$$|x^2-3x|>x+5.$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2-3x>x+5 \quad \text{или} \quad x^2-3x<-(x+5).$$
Первое неравенство:
$$x^2-4x-5>0,$$
$$D=16+20=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2},$$
$$x_1=-1,\quad x_2=5.$$
Тогда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>5.$$
Второе неравенство:
$$x^2-2x+5<0.$$
Но
$$D=4-20=-16<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-2x+5>0$$ при всех $$x$$, решений нет.
Следовательно,
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>5.$$