Упр.27.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (71-x)^(1/6)+(57+x)^(1/6) < 4;
2) (33-x)^(1/6)+(31+x)^(1/6) > 2;
3) 2v(x-3)+(x^3+9x+10)^(1/3) > 4;
4) log_2 (v(x+3)+2)log_3 (x^2+6x+18) > 2.
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt[6]{71-x}+\sqrt[6]{57+x}.$$
Её область определения задаётся условиями
$$71-x\ge 0,\qquad 57+x\ge 0,$$
откуда
$$-57\le x\le 71.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac16(71-x)^{-5/6}+\frac16(57+x)^{-5/6}.$$
Так как функция $$t\mapsto t^{-5/6}$$ убывает при $$t>0$$, то знак производной определяется сравнением подкоренных выражений. Получаем, что максимум функции достигается при равенстве
$$71-x=57+x,$$
то есть при $$x=7.$$
Тогда
$$f(7)=\sqrt[6]{64}+\sqrt[6]{64}=2+2=4.$$
Следовательно, неравенство $$\sqrt[6]{71-x}+\sqrt[6]{57+x}<4$$ не имеет решений, а при знаке $$\le 4$$ выполняется на всей области определения.
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt[6]{33-x}+\sqrt[6]{31+x}.$$
Область определения:
$$33-x\ge 0,\qquad 31+x\ge 0,$$
то есть
$$-31\le x\le 33.$$
Минимум функции достигается при равенстве подкоренных выражений:
$$33-x=31+x,$$
откуда
$$x=1.$$
Тогда
$$f(1)=\sqrt[6]{32}+\sqrt[6]{32}=2\sqrt[6]{32}>2.$$
Значит, неравенство $$\sqrt[6]{33-x}+\sqrt[6]{31+x}>2$$ выполняется при всех $$x$$ из области определения.
Пусть
$$\varphi(x)=2\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x^3+9x+10}.$$
Область определения:
$$x-3\ge 0,\qquad x\ge 3.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt[3]{x^3+9x+10},\qquad g(x)=4-2\sqrt{x-3}.$$
На области $$x\ge 3$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Проверим точку пересечения:
$$f(3)=\sqrt[3]{27+27+10}=\sqrt[3]{64}=4,$$
$$g(3)=4-2\sqrt{3-3}=4.$$
Следовательно, при $$x\ge 3$$ имеем
$$\sqrt[3]{x^3+9x+10}\ge 4-2\sqrt{x-3},$$
то есть
$$2\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x^3+9x+10}\ge 4.$$
Так как в условии стоит знак $$>4$$, получаем
$$x>3.$$
Рассмотрим неравенство
$$\log_2(\sqrt{x+3}+2)\cdot \log_3(x^2+6x+18)>2.$$
Область определения:
$$x+3\ge 0,\qquad x\ge -3.$$
Заметим, что
$$\sqrt{x+3}+2\ge 2,$$
поэтому
$$\log_2(\sqrt{x+3}+2)\ge 1.$$
Кроме того,
$$x^2+6x+18=(x+3)^2+9\ge 9,$$
значит
$$\log_3(x^2+6x+18)\ge \log_3 9=2.$$
Тогда произведение этих множителей не меньше $$2$$, а при строгом знаке $$>2$$ получаем
$$x>-3.$$
Ответ
1) $$\varnothing$$; 2) $$[-31;33]$$; 3) $$[3;+\infty)$$; 4) $$(-3;+\infty)$$.
