Упр.27.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (83-x)^(1/4)+(79+x)^(1/4) < 6; 4) (v(x+2)+1)log_4 (x^2+4x+20) > 2;
2) (11-x)^(1/4)+(x+5)^(1/4) > 2; 5) log_2 (v(x-1)+2)log_5 (x^2+x+3) > 1.
3) 3x^5+(3x^3+4x+1)^(1/3) < 5;
$$\sqrt[4]{83-x}+\sqrt[4]{79+x}\le 6.$$
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt[4]{83-x}+\sqrt[4]{79+x}.$$
Её область определения:
$$83-x\ge 0,\quad 79+x\ge 0,$$
$$x\le 83,\quad x\ge -79.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{1}{4}(83-x)^{-\frac34}+\frac{1}{4}(79+x)^{-\frac34}.$$
$$f'(x)=\frac{(83-x)^{\frac34}-(79+x)^{\frac34}}{4(83-x)^{\frac34}(79+x)^{\frac34}}.$$
Знаменатель положителен, поэтому
$$f'(x)\ge 0 \iff 83-x\ge 79+x \iff x\le 2.$$
Значит, функция возрастает до $x=2$ и убывает после него, следовательно, максимум достигается при $x=2$:
$$f(2)=\sqrt[4]{81}+\sqrt[4]{81}=3+3=6.$$
Так как требуется $$f(x)\le 6,$$ то неравенство выполняется на всей области определения.
$$\sqrt[4]{11-x}+\sqrt[4]{x+5}\ge 2.$$
Область определения:
$$11-x\ge 0,\quad x+5\ge 0,$$
$$x\le 11,\quad x\ge -5.$$
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt[4]{11-x}+\sqrt[4]{x+5}.$$
Её производная:
$$f'(x)=-\frac{1}{4}(11-x)^{-\frac34}+\frac{1}{4}(x+5)^{-\frac34}.$$
$$f'(x)=\frac{(11-x)^{\frac34}-(x+5)^{\frac34}}{4(11-x)^{\frac34}(x+5)^{\frac34}}.$$
Следовательно,
$$f'(x)\ge 0 \iff 11-x\ge x+5 \iff x\le 3.$$
Значит, на отрезке $$[-5;11]$$ функция достигает минимума на концах:
$$f(-5)=\sqrt[4]{16}=2,\qquad f(11)=\sqrt[4]{16}=2.$$
Минимальное значение равно $2$, поэтому неравенство верно при всех допустимых $x$.
$$3x^5+\sqrt[3]{3x^3+4x+1}<5.$$
Перенесём одно слагаемое в правую часть:
$$\sqrt[3]{3x^3+4x+1}<5-3x^5.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt[3]{3x^3+4x+1},\qquad g(x)=5-3x^5.$$
Их производные:
$$f'(x)=\frac{9x^2+4}{3(3x^3+4x+1)^{\frac23}}\ge 0,$$
$$g'(x)=-15x^4\le 0.$$
Значит, $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает. Проверим точку пересечения:
$$f(1)=\sqrt[3]{3+4+1}=\sqrt[3]{8}=2,$$
$$g(1)=5-3=2.$$
Следовательно, при $x<1$ имеем $f(x)<g(x)$, а при $x>1$ — $f(x)>g(x)$. Поэтому
$$x\in(-\infty;1).$$
$$\left(\sqrt{x+2}+1\right)\log_4(x^2+4x+20)\ge 2.$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$
Первый множитель:
$$\sqrt{x+2}+1\ge 1.$$
Второй множитель:
$$x^2+4x+20=(x+2)^2+16\ge 16,$$
значит,
$$\log_4(x^2+4x+20)\ge \log_4 16=2.$$
Оба множителя неотрицательны, поэтому произведение не меньше $2$ при всех $x\ge -2$.
$$\log_2(\sqrt{x-1}+2)\log_5(x^2+x+3)>1.$$
Область определения:
$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$
Первый множитель:
$$\sqrt{x-1}+2\ge 2,$$
следовательно,
$$\log_2(\sqrt{x-1}+2)\ge 1.$$
Второй множитель:
$$x^2+x+3=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{11}{4}\ge 3,$$
поэтому
$$\log_5(x^2+x+3)\ge \log_5 3>0.$$
При $x=1$ получаем
$$\log_2(\sqrt{0}+2)\log_5(1^2+1+3)=1\cdot \log_5 5=1,$$
а при $x>1$ первый множитель больше $1$, второй не меньше $1$, значит произведение больше $1$.
Следовательно,
$$x\in[1;+\infty).$$
Ответ
1) $$[-79;83]$$; 2) $$[-5;11]$$; 3) $$(-\infty;1)$$; 4) $$[-2;+\infty)$$; 5) $$[1;+\infty)$$.
