Упр.27.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (10-x)^(1/3)+v(x-1) > 3; 2) (v(6+x)+v(6-x))/(v(6+x)-v(6-x)) < 6/x.
Решим неравенство
$$\sqrt[3]{10-x}+\sqrt{x-1}\ge 3.$$
Обозначим
$$a=\sqrt[3]{10-x}, \qquad b=\sqrt{x-1}.$$
Тогда
$$a+b=3,\qquad x=10-a^3,\qquad x=b^2+1.$$
Из равенства $$a+b=3$$ получаем $$b=3-a$$. Подставим в выражение для $$x$$:
$$x=(3-a)^2+1=10-a^3.$$
Тогда
$$9-6a+a^2+1=10-a^3,$$
$$a^3+a^2-6a=0,$$
$$a(a^2+a-6)=0,$$
$$a(a+3)(a-2)=0.$$
Отсюда
$$a=0,\quad a=-3,\quad a=2.$$
Найдём соответствующие значения $$x$$:
$$a=0 \Rightarrow x=10,$$
$$a=-3 \Rightarrow x=37,$$
$$a=2 \Rightarrow x=2.$$
С учётом области определения $$x\ge 1$$ проверяем промежутки. При $$x=1$$:
$$\sqrt[3]{9}+0<3,$$
при $$x=2$$:
$$\sqrt[3]{8}+\sqrt{1}=2+1=3,$$
при $$x=10$$:
$$\sqrt[3]{0}+\sqrt{9}=3,$$
при $$x=37$$:
$$\sqrt[3]{-27}+\sqrt{36}=-3+6=3.$$
Так как левая часть непрерывна на области определения, то неравенство выполняется на промежутках между найденными точками, где значение не меньше 3:
$$x\in[2;10]\cup[37;+\infty).$$
Решим неравенство
$$\frac{\sqrt{6+x}+\sqrt{6-x}}{\sqrt{6+x}-\sqrt{6-x}}<\frac{6}{x}.$$
Область определения:
$$6+x\ge 0,\qquad 6-x\ge 0,\qquad x\ne 0,$$
то есть
$$-6\le x\le 6,\qquad x\ne 0.$$
Преобразуем левую часть, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
$$\frac{\sqrt{6+x}+\sqrt{6-x}}{\sqrt{6+x}-\sqrt{6-x}}=\frac{(6+x)+(6-x)+2\sqrt{36-x^2}}{(6+x)-(6-x)}.$$
Получаем
$$\frac{12+2\sqrt{36-x^2}}{2x}=\frac{6+\sqrt{36-x^2}}{x}.$$
Тогда неравенство принимает вид
$$\frac{6+\sqrt{36-x^2}}{x}<\frac{6}{x}.$$
Перенесём:
$$\frac{\sqrt{36-x^2}}{x}<0.$$
Так как $$\sqrt{36-x^2}\ge 0$$, то дробь отрицательна только при $$x<0$$ и $$\sqrt{36-x^2}>0$$. С учётом ОДЗ получаем
$$-6\le x<0.$$
Проверим точку $$x=-6$$:
$$\frac{\sqrt{0}+\sqrt{12}}{\sqrt{0}-\sqrt{12}}=-1,\qquad \frac{6}{-6}=-1,$$
неравенство не выполняется, значит $$x=-6$$ не подходит.
Итак,
$$x\in(-6;0).$$
Ответ
1) $$[2;10]\cup[37;+\infty)$$; 2) $$(-6;0).$$
