Упр.27.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) |3x-1| < x/2; 2) |3x-5| > 9x+1.

1) Рассмотрим неравенство $$|3x-1|<\frac{x}{2}.$$

Так как модуль неотрицателен, то правая часть должна быть положительной:

$$\frac{x}{2}>0 \Rightarrow x>0.$$

Тогда получаем двойное неравенство:

$$-\frac{x}{2}<3x-1<\frac{x}{2}.$$

Решим его по частям:

$$3x-1<\frac{x}{2}$$

$$6x-2<x$$

$$5x<2$$

$$x<\frac{2}{5}.$$

И

$$3x-1>-\frac{x}{2}$$

$$6x-2>-x$$

$$7x>2$$

$$x>\frac{2}{7}.$$

С учётом условия $$x>0$$ получаем:

$$\frac{2}{7}<x<\frac{2}{5}.$$

2) Рассмотрим неравенство $$|3x-5|>9x+1.$$

Если $$9x+1<0,$$ то неравенство выполняется автоматически, так как $$|3x-5|\ge 0.$$ Тогда

$$9x+1<0 \Rightarrow x<-\frac{1}{9}.$$

Если $$9x+1\ge 0,$$ то раскрываем модуль по определению:

$$3x-5>9x+1 \quad \text{или} \quad 3x-5<-(9x+1).$$

Из первого:

$$3x-5>9x+1$$

$$-6x>6$$

$$x<-1.$$

Из второго:

$$3x-5<-9x-1$$

$$12x<4$$

$$x<\frac{1}{3}.$$

С учётом условия $$9x+1\ge 0$$ получаем решение $$x\ge -\frac{1}{9}$$ и $$x<\frac{1}{3},$$ то есть $$\left[-\frac{1}{9},\frac{1}{3}\right).$$

Объединяя с случаем $$x<-\frac{1}{9},$$ получаем:

$$x<\frac{1}{3}.$$

Ответ

1) $$\left(\frac{2}{7};\frac{2}{5}\right);$$ 2) $$\left(-\infty;\frac{1}{3}\right).$$