Упр.27.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (3-x)^(1/3)+v(x-2) < 1; 2) (v(21+x)+v(21-x))/(v(21+x)-v(21-x)) > 21/x.

Подробный ответ

1) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt[3]{3-x}+\sqrt{x-2}\le 1.$$

Положим $$a=\sqrt[3]{3-x},\quad b=\sqrt{x-2}.$$ Тогда

$$3-x=a^3,\quad x-2=b^2,\quad a+b=1.$$

Из равенства $$x=3-a^3=b^2+2$$ и условия $$b=1-a$$ получаем

$$3-a^3=(1-a)^2+2,$$

$$3-a^3=1-2a+a^2+2,$$

$$a^3+a^2-2a=0,$$

$$a(a^2+a-2)=0,$$

$$a(a+2)(a-1)=0.$$

Отсюда

$$a=0,\ a=-2,\ a=1.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$a=0 \Rightarrow x=3,$$

$$a=-2 \Rightarrow x=3-(-2)^3=11,$$

$$a=1 \Rightarrow x=3-1^3=2.$$

Проверим эти значения с учётом области определения $$x\ge 2$$:

$$x=2:\ \sqrt[3]{1}+\sqrt{0}=1,$$

$$x=3:\ \sqrt[3]{0}+\sqrt{1}=1,$$

$$x=11:\ \sqrt[3]{-8}+\sqrt{9}=-2+3=1.$$

Все найденные значения подходят.

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{21+x}+\sqrt{21-x}}{\sqrt{21+x}-\sqrt{21-x}}>\frac{21}{x}.$$

Область определения:

$$21+x\ge 0,\quad 21-x\ge 0,\quad \sqrt{21+x}-\sqrt{21-x}\ne 0,$$

то есть

$$-21\le x\le 21,\quad x\ne 0.$$

Умножим числитель и знаменатель левой части на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt{21+x}+\sqrt{21-x}}{\sqrt{21+x}-\sqrt{21-x}}=\frac{(21+x)+(21-x)+2\sqrt{(21+x)(21-x)}}{(21+x)-(21-x)}.$$

Тогда

$$\frac{42+2\sqrt{441-x^2}}{2x}>\frac{21}{x}.$$

После преобразования получаем

$$\frac{21+\sqrt{441-x^2}}{x}>\frac{21}{x}.$$

Рассмотрим знак $$x$$.

Если $$x>0$$, то

$$21+\sqrt{441-x^2}>21,$$

что верно при всех $$x$$ из области определения. Значит, подходят все $$x$$, для которых $$0<x\le 21$$.

Если $$x<0$$, то правая часть $$\frac{21}{x}$$ отрицательна, а левая часть положительна, поэтому неравенство также выполняется при всех $$x$$ из области определения. Значит, подходят все $$-21\le x<0$$.

Итак, решение второго неравенства:

$$[-21;0)\cup(0;21].$$