Упр.27.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(x)-sin(2x)-cos(3x) < 0; 3) (2cos(x)-1)ctg(x) > 0.
2) ctg(x) > ctg(3x);

1. $$\cos x-\sin 2x-\cos 3x<0$$

   Используем формулу $$\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x$$:

   $$
   (\cos x-\cos 3x)-\sin 2x<0
   $$
   $$
   2\sin 2x\sin x-\sin 2x<0
   $$
   $$
   \sin 2x(2\sin x-1)<0
   $$

   Произведение отрицательно, когда множители разных знаков.

   1) $$\sin 2x>0,\quad 2\sin x-1<0$$
   
   $$2\pi n<2x<\pi+2\pi n$$
   
   $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   
   $$\sin x<\frac12$$
   
   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

   Пересечение даёт:
   $$-\pi+2\pi n<x<-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   и
   $$2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

   2) $$\sin 2x<0,\quad 2\sin x-1>0$$
   
   $$-\pi+2\pi n<2x<2\pi n$$
   
   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n$$
   
   $$\sin x>\frac12$$
   
   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

   Пересечение даёт:
   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

   Итак,
   $$
   x\in\left(-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup
   \left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup
   \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.
   $$

2. $$\ctg x>\ctg 3x$$

   Преобразуем:
   $$
   \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\sin 3x}>0
   $$
   $$
   \frac{\cos x\sin 3x-\cos 3x\sin x}{\sin x\sin 3x}>0
   $$
   $$
   \frac{\sin 2x}{\sin x\sin 3x}>0
   $$
   $$
   \frac{2\sin x\cos x}{\sin x\sin 3x}>0
   $$
   $$
   \frac{\cos x}{\sin 3x}>0.
   $$

   Значит, нужно, чтобы $$\cos x$$ и $$\sin 3x$$ имели одинаковые знаки, при этом
   $$\sin x\neq 0,\quad \sin 3x\neq 0.$$

   1) $$\cos x>0,\ \sin 3x>0$$
   
   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   
   $$\frac{2\pi k}{3}<x<\frac{(2k+1)\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z$$
   
   Пересечение даёт:
   $$\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right).$$

   2) $$\cos x<0,\ \sin 3x<0$$
   
   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
   
   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad
   \pi+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$
   
   Пересечение даёт:
   $$\left(\pi+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right).$$

   С учётом области определения получаем:
   $$
   x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup
   \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right)\cup
   \left(\pi+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.
   $$

3. $$\left(2\cos x-1\right)\ctg x\ge 0$$

   Рассмотрим знаки множителей.

   1) $$2\cos x-1\ge 0$$
   
   $$\cos x\ge \frac12$$
   
   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$
   
   $$\frac{5\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi}{3}+2\pi n$$

   2) $$\ctg x\le 0$$
   
   $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le x<\pi+\pi n$$
   
   $$\frac{3\pi}{2}+2\pi n\le x<2\pi+2\pi n$$

   Пересечение даёт:
   $$
   x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup
   \left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)\cup
   \left[\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.
   $$

Ответ

1) $$x\in\left(-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)\cup\left[\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$