Упр.27.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2x)tg(x) < 0; 2) sin^2(x)cos(x)+cos^2(x)sin(x) < 0; 3) (sin(x)+cos(x))(v3sin(x)-cos(x)) > 0;
4) (tg(x)-v3)sin(x) < 0.

1. $$\cos 2x \cdot \tg x < 0$$

   Рассмотрим знаки множителей:

   $$\cos 2x > 0,\quad \tg x < 0$$ или $$\cos 2x < 0,\quad \tg x > 0.$$

   1) $$\cos 2x > 0$$, значит

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2}+2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{4}+\pi n < x < \frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   2) $$\tg x < 0$$, значит

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \pi n.$$

   3) $$\cos 2x < 0$$, значит

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

   4) $$\tg x > 0$$, значит

   $$\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Пересекаем подходящие промежутки:

   $$x \in \left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin^2 x\cos x+\cos^2 x\sin x<0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\sin x\cos x(\sin x+\cos x)<0.$$

   Преобразуем:

   $$\frac12\sin 2x\cdot(\sin x+\cos x)<0.$$

   Значит, нужно, чтобы знаки множителей были противоположны.

   1) $$\sin 2x>0$$, тогда

   $$\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   2) $$\sin x+\cos x>0$$, то есть

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0,$$
   откуда
   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right).$$

   3) $$\sin 2x<0$$, тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \pi n.$$

   4) $$\sin x+\cos x<0$$, то есть

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<0,$$ откуда $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{4}+2\pi n.$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\pi n\right),$$
   что после приведения к стандартному виду можно записать как
   $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right).$$

   Итак,

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$(\sin x+\cos x)(\sqrt3\sin x-\cos x)>0$$

   Рассмотрим множители отдельно.

   1) $$\sin x+\cos x>0$$, значит

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0,$$
   откуда
   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   2) $$\sqrt3\sin x-\cos x>0$$, то есть

   $$\frac{\sqrt3}{2}\sin x-\frac12\cos x>0,$$
   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)>0,$$
   откуда
   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Так как произведение положительно, знаки множителей должны совпадать. Получаем:

   $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right).$$

4. $$(\tg x-\sqrt3)\sin x<0$$

   Рассмотрим знаки множителей.

   1) $$\tg x-\sqrt3>0$$, значит

   $$\tg x>\sqrt3,$$
   $$\frac{\pi}{3}+\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   2) $$\sin x<0$$, значит

   $$\pi+2\pi n < x < 2\pi+2\pi n.$$

   3) $$\tg x-\sqrt3<0$$, значит

   $$\pi n < x < \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   4) $$\sin x>0$$, значит

   $$2\pi n < x < \pi+2\pi n.$$

   С учётом смены знаков получаем:

   $$x\in\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

3) $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

4) $$x\in\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$