Упр.27.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2sin^2(x)-7sin(x)+3 > 0; 3) tg^2(x)-3tg(x)+2 < 0. 2) sin(x)+cos(2x) > 1;

1. $$2\sin^2 x-7\sin x+3>0$$

   Положим $$t=\sin x$$. Тогда получаем квадратное неравенство:

   $$2t^2-7t+3>0$$

   Найдём корни:

   $$D=49-24=25$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=3$$

   Тогда

   $$\left(\sin x-\frac12\right)(\sin x-3)>0$$

   Так как $$\sin x\le 1$$, то подходит только

   $$\sin x<\frac12$$

   Отсюда

   $$x\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x+\cos 2x>1$$

   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

   $$\sin x+1-2\sin^2 x>1$$

   $$2\sin^2 x-\sin x<0$$

   $$\sin x(2\sin x-1)<0$$

   Отсюда

   $$0<\sin x<\frac12$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg^2 x-3\tg x+2<0$$

   Положим $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-3t+2<0$$

   $$D=9-8=1$$

   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=2$$

   Значит,

   $$1<\tg x<2$$

   Отсюда

   $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\arctg 2+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\arctg 2+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$