Упр.27.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^6(x)+cos^(x) < 2/3; 3) tg^2(x)-tg(x)-2 > 0;
2) 2cos^2(x)-sin(x) > 1; 4) 2+tg(2x)+ctg(2x) < 0.

1. $$\sin^6 x+\cos^6 x<\frac23.$$

   Используем формулу:

   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

   Тогда

   $$
   \sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x).
   $$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

   $$
   \sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x.
   $$

   Тогда неравенство равносильно:

   $$
   1-3\sin^2 x\cos^2 x<\frac23
   $$
   $$
   9\sin^2 x\cos^2 x>1
   $$
   $$
   \frac94\sin^2 2x>1
   $$
   $$
   \sin^2 2x>\frac49
   $$
   $$
   \cos 4x<\frac19.
   $$

   Следовательно,

   $$
   \arccos\frac19+2\pi n<4x<2\pi-\arccos\frac19+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.
   $$

   Делим на 4:

   $$
   \frac14\arccos\frac19+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos\frac19+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.
   $$

2. $$2\cos^2 x-\sin x>1.$$

   Переходим к $$\sin x$$:

   $$
   2(1-\sin^2 x)-\sin x>1
   $$
   $$
   2\sin^2 x+\sin x-1<0.
   $$

   Решим квадратное неравенство. Корни:

   $$
   D=1+8=9,\quad
   \sin x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{4}.
   $$

   Получаем:

   $$
   \sin x_1=-1,\qquad \sin x_2=\frac12.
   $$

   Тогда

   $$
   -1<\sin x<\frac12.
   $$

   Отсюда

   $$
   x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.
   $$

3. $$\tg^2 x-\tg x-2>0.$$

   Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда

   $$
   t^2-t-2>0
   $$
   $$
   (t+1)(t-2)>0.
   $$

   Следовательно,

   $$
   t<-1 \quad \text{или} \quad t>2.
   $$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$
   x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\cup\left(\arctg 2+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.
   $$

4. $$2+\tg 2x+\ctg 2x<0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$
   2+\tg 2x+\ctg 2x
   =
   \frac{2\tg 2x+\tg^2 2x+1}{\tg 2x}
   =
   \frac{(\tg 2x+1)^2}{\tg 2x}.
   $$

   Тогда

   $$
   \frac{(\tg 2x+1)^2}{\tg 2x}<0.
   $$

   Числитель неотрицателен, значит дробь отрицательна только при

   $$
   \tg 2x<0,\qquad \tg 2x\ne-1.
   $$

   Отсюда

   $$
   \frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\pi+\pi n,\qquad 2x\ne\frac{3\pi}{4}+\pi n.
   $$

   Делим на 2:

   $$
   \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{2},\qquad x\ne\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.
   $$

   Итак,

   $$
   x\in\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.
   $$

Ответ

1) $$x\in\left(\frac14\arccos\frac19+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos\frac19+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z;$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

3) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\cup\left(\arctg 2+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

4) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z.$$