Упр.27.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x-2)+v(2x+5) > 3; 2) vx+v(x-5) < v(10-x).

1) $$\sqrt{x-2}+\sqrt{2x+5}>3$$

Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x-2}=3-\sqrt{2x+5}$$

$$x-2=9-6\sqrt{2x+5}+2x+5$$

$$6\sqrt{2x+5}=2x+16$$

$$3\sqrt{2x+5}=x+8$$

Снова возведём в квадрат:

$$9(2x+5)=(x+8)^2$$

$$18x+45=x^2+16x+64$$

$$x^2-2x+19=0$$

Однако удобнее решить неравенство через преобразование:

$$\sqrt{x-2}+\sqrt{2x+5}>3$$

Так как при $$x>2$$ левая часть возрастает, а при $$x=2$$ она равна $$\sqrt{9}=3$$, то неравенство выполняется при

$$x>2.$$

Проверим область определения:

$$x-2\ge 0,\quad 2x+5\ge 0 \Rightarrow x\ge 2.$$

Значит, ответ:

$$x\in(2;+\infty).$$

2) $$\sqrt{x}+\sqrt{x-5}\le \sqrt{10-x}$$

Область определения:

$$x\ge 0,\quad x-5\ge 0,\quad 10-x\ge 0.$$

Отсюда

$$5\le x\le 10.$$

Перенесём корни в одну сторону и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x}+\sqrt{x-5}\le \sqrt{10-x}$$

$$x+2\sqrt{x(x-5)}+x-5\le 10-x$$

$$2\sqrt{x(x-5)}\le 15-3x.$$

Левая часть неотрицательна, значит правая тоже должна быть неотрицательной:

$$15-3x\ge 0 \Rightarrow x\le 5.$$

С учётом области определения получаем единственно возможное значение:

$$x=5.$$

Ответ

1) $$x\in(2;+\infty)$$

2) $$x=5$$