Упр.27.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(1-3x)-v(5+x) > 1; 2) v(2x-1)+v(x+15) < 5.

1) $$\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}>1$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{1-3x}>1+\sqrt{5+x}$$

Возведём в квадрат:

$$1-3x>1+2\sqrt{5+x}+5+x$$

$$2\sqrt{5+x}<-4x-5$$

Так как левая часть неотрицательна, то необходимо:

$$-4x-5>0$$

$$x<-\frac54$$

Теперь возведём в квадрат:

$$4(5+x)<(4x+5)^2$$

$$20+4x<16x^2+40x+25$$

$$16x^2+36x+5>0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=36^2-4\cdot16\cdot5=976=16\cdot61$$

$$x_{1,2}=\frac{-36\pm4\sqrt{61}}{32}=\frac{-9\pm\sqrt{61}}{8}$$

Тогда

$$16x^2+36x+5>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<\frac{-9-\sqrt{61}}{8}\ \text{или}\ x>\frac{-9+\sqrt{61}}{8}$$

С учётом области допустимых значений:

$$1-3x\ge 0,\quad 5+x\ge 0,\quad -4x-5>0$$

$$x\le \frac13,\quad x\ge -5,\quad x<-\frac54$$

Получаем пересечение:

$$x\in\left[-5;\frac{-9-\sqrt{61}}{8}\right)$$

2) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}<5$$

Перенесём один корень и возведём в квадрат:

$$\sqrt{2x-1}<5-\sqrt{x+15}$$

$$2x-1<25-10\sqrt{x+15}+x+15$$

$$10\sqrt{x+15}<41-x$$

Возведём в квадрат:

$$100(x+15)<(41-x)^2$$

$$100x+1500<x^2-82x+1681$$

$$x^2-182x+181>0$$

$$D=182^2-4\cdot181=32400$$

$$x_{1,2}=\frac{182\pm180}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=181$$

Тогда

$$x<1 \;\;\text{или}\;\; x>181$$

Область допустимых значений:

$$2x-1\ge 0,\quad x+15\ge 0,\quad 5-\sqrt{x+15}\ge 0$$

$$x\ge \frac12,\quad x\ge -15,\quad x\le \frac{11}{3}$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac12;\frac{11}{3}\right]$$

Пересечение с найденным решением даёт:

$$x\in\left[\frac12;1\right]$$

Ответ

1) $$\left[-5;\frac{-9-\sqrt{61}}{8}\right)$$; 2) $$\left[\frac12;1\right]$$.