Упр.27.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x-12)v(x-3) < 0; 3) (x+3)v(x^2+x-2) < 0; 2) (x+2)^2 (x-1)^2 v(x-7) > 0; 4) v(2x^2+15x-17)/(10-x) > 0.

Подробный ответ

$$\sqrt{x-3}\le 0$$
Так как квадратный корень неотрицателен, то это возможно только при
$$x-3=0,$$
откуда
$$x=3.$$
При этом
$$x-12\le 0,$$
то есть
$$x\le 12.$$
Следовательно,
$$x\in[3;12].$$
$$\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)^2\sqrt{x-7}>0$$
Произведение положительно, если все множители положительны. Но
$$\left(x+2\right)^2\ge 0,\qquad \left(x-1\right)^2\ge 0,$$
и они обращаются в нуль при $$x=-2$$ и $$x=1.$$
Чтобы произведение было строго больше нуля, нужно
$$\sqrt{x-7}>0,$$
то есть
$$x-7>0,\qquad x>7.$$
Тогда автоматически $$\left(x+2\right)^2>0$$ и $$\left(x-1\right)^2>0.$$
Итак,
$$x\in(7;+\infty).$$
$$\left(x+3\right)\sqrt{x^2+x-2}\le 0$$
Область определения:
$$x^2+x-2\ge 0,$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
Так как $$\sqrt{x^2+x-2}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, если
$$x+3\le 0$$
или
$$\sqrt{x^2+x-2}=0.$$
1) $$x+3\le 0 \Rightarrow x\le -3.$$
2) $$x^2+x-2=0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0,$$
откуда $$x=-2$$ или $$x=1.$$
Все найденные значения принадлежат области определения.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-3]\cup\{-2;1\}.$$
$$\frac{\sqrt{2x^2+15x-17}}{10-x}\ge 0$$
Область определения:
$$2x^2+15x-17\ge 0,\qquad 10-x\ne 0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$2x^2+15x-17=(2x-1)(x+17).$$
Тогда
$$x\le -\frac{17}{2}\quad \text{или}\quad x\ge 1.$$
Числитель $$\sqrt{2x^2+15x-17}\ge 0,$$ поэтому дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен или числитель равен нулю.
1) Если $$\sqrt{2x^2+15x-17}=0,$$ то
$$2x^2+15x-17=0,$$
откуда $$x=-\frac{17}{2}$$ или $$x=1.$$
2) Если $$\sqrt{2x^2+15x-17}>0,$$ то нужно
$$10-x>0,\qquad x<10.$$
С учётом области определения получаем
$$x\in\left(-\infty;-\frac{17}{2}\right]\cup[1;10).$$