Упр.27.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x+10)v(x-5) < 0; 3) (x+8)v(x^2-5x+4) < 0; 2) (x+1)v(x+4)v(x+7) < 0; 4) (x^2+3x-10)v(2x^2+5x+2) > 0.

1. $$\left(x+10\right)\sqrt{x-5}\le 0$$

   Область определения: $$x-5\ge 0,\quad x\ge 5.$$

   Так как $$\sqrt{x-5}\ge 0,$$ то произведение не положительно, когда

   $$x+10\le 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-5}=0.$$

   Но при $$x\ge 5$$ неравенство $$x+10\le 0$$ не выполняется, значит остаётся

   $$x-5=0,\quad x=5.$$

2. $$\left(x+1\right)\sqrt{x+4}\sqrt{x+7}\le 0$$

   Область определения: $$x+4\ge 0,\quad x+7\ge 0,$$ то есть $$x\ge -4.$$

   Так как $$\sqrt{x+4}\ge 0$$ и $$\sqrt{x+7}\ge 0,$$ то произведение не положительно, когда

   $$x+1\le 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+4}=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+7}=0.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\in[-4;\,-1].$$

3. $$\left(x+8\right)\sqrt{x^2-5x+4}\le 0$$

   Область определения:

   $$x^2-5x+4\ge 0,$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\ge 0,$$

   $$x\in(-\infty;\,1]\cup[4;\,+\infty).$$

   Так как $$\sqrt{x^2-5x+4}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, если

   $$x+8\le 0 \quad \text{или} \quad x^2-5x+4=0.$$

   Отсюда

   $$x\le -8 \quad \text{или} \quad x=1,\;4.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in(-\infty;\,-8]\cup\{1;\,4\}.$$

4. $$\left(x^2+3x-10\right)\sqrt{2x^2+5x+2}\ge 0$$

   Область определения:

   $$2x^2+5x+2\ge 0,$$

   $$\left(2x+1\right)\left(x+2\right)\ge 0,$$

   $$x\in(-\infty;\,-2]\cup\left[-\frac12;\,+\infty\right).$$

   Так как $$\sqrt{2x^2+5x+2}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, если

   $$x^2+3x-10\ge 0 \quad \text{или} \quad 2x^2+5x+2=0.$$

   Решим первое неравенство:

   $$x^2+3x-10=\left(x+5\right)\left(x-2\right)\ge 0,$$

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\in(-\infty;\,-5]\cup\left\{-2;\,-\frac12\right\}\cup[2;\,+\infty).$$

Ответ

1) $$\{5\}$$; 2) $$[-4;\,-1]$$; 3) $$(-\infty;\,-8]\cup\{1;\,4\}$$; 4) $$(-\infty;\,-5]\cup\left\{-2;\,-\frac12\right\}\cup[2;\,+\infty)$$.