Упр.27.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(x^2-2x) > 4-x; 3) v((x^3+27)/x) > x-3.
2) v(-x^2-8x-12) > x+4;

1. $$\sqrt{x^2-2x}>4-x.$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$4-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 4.$$

   Тогда можно возвести обе части в квадрат:

   $$
   x^2-2x>(4-x)^2
   $$
   $$
   x^2-2x>x^2-8x+16
   $$
   $$
   6x>16
   $$
   $$
   x>\frac{8}{3}.
   $$
   С учётом $$x\le 4$$ получаем $$\frac{8}{3}

   2) $$4-x<0,$$ то есть $$x>4.$$

   Так как $$\sqrt{x^2-2x}\ge 0,$$ а правая часть отрицательна, неравенство выполняется при всех таких $$x$$, если выражение под корнем определено:

   $$
   x^2-2x\ge 0
   $$
   $$
   x(x-2)\ge 0
   $$
   $$
   x\le 0 \text{ или } x\ge 2.
   $$
   При $$x>4$$ это условие выполнено.

   Итак, решение:

   $$
   \left(\frac{8}{3};+\infty\right).
   $$

2. $$\sqrt{-x^2-8x-12}\ge x+4.$$

   Снова рассмотрим два случая.

   1) $$x+4\ge 0,$$ то есть $$x\ge -4.$$

   Тогда возводим в квадрат:

   $$
   -x^2-8x-12\ge (x+4)^2
   $$
   $$
   -x^2-8x-12\ge x^2+8x+16
   $$
   $$
   2x^2+16x+28\le 0
   $$
   $$
   x^2+8x+14\le 0.
   $$
   Найдём корни:
   $$
   D=8^2-4\cdot 14=64-56=8,
   $$
   $$
   x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{8}}{2}=-4\pm\sqrt2.
   $$
   Тогда
   $$
   -4-\sqrt2\le x\le -4+\sqrt2.
   $$
   С учётом $$x\ge -4$$ получаем
   $$
   -4\le x\le -4+\sqrt2.
   $$

   2) $$x+4<0,$$ то есть $$x<-4.$$

   Тогда правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при условии существования корня:

   $$
   -x^2-8x-12\ge 0
   $$
   $$
   x^2+8x+12\le 0
   $$
   $$
   (x+6)(x+2)\le 0
   $$
   $$
   -6\le x\le -2.
   $$
   С учётом $$x<-4$$ получаем
   $$
   -6\le x<-4.
   $$

   Объединяя результаты, имеем:

   $$
   [-6;\,-4+\sqrt2].
   $$

3. $$\sqrt{\frac{x^3+27}{x}}>x-3.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$x-3\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$

   Тогда возводим в квадрат:

   $$
   \frac{x^3+27}{x}>(x-3)^2
   $$
   $$
   \frac{x^3+27}{x}>x^2-6x+9.
   $$
   При $$x>0$$ умножаем на $$x$$:
   $$
   x^3+27>x^3-6x^2+9x
   $$
   $$
   6x^2-9x+27>0
   $$
   $$
   2x^2-3x+9>0.
   $$
   Дискриминант:
   $$
   D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot 9=9-72=-63<0.
   $$
   Так как старший коэффициент положителен, неравенство верно при всех $$x$$. Значит, при $$x\ge 3$$ оно выполняется.

   2) $$x-3<0,$$ то есть $$x<3.$$

   Тогда правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит достаточно, чтобы подкоренное выражение было определено:

   $$
   \frac{x^3+27}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.
   $$
   Разложим числитель:
   $$
   \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x}\ge 0.
   $$
   Так как $$x^2-3x+9>0$$ при всех $$x$$, остаётся:
   $$
   \frac{x+3}{x}\ge 0.
   $$
   Отсюда
   $$
   x\in(-\infty,-3]\cup(0,+\infty).
   $$
   С учётом $$x<3$$ получаем
   $$
   x\in(-\infty,-3]\cup(0,3).
   $$

   Итак, решение:

   $$
   (-\infty,-3]\cup(0,+\infty).
   $$

Ответ

1) $$\left(\frac{8}{3};+\infty\right)$$

2) $$[-6;\,-4+\sqrt2]$$

3) $$(-\infty,-3]\cup(0,+\infty)$$