Упр.26.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.9. Решите уравнение vx(9^v(x^2-3)-3^v(x^2-3))=3^(2v(x^2-3)+1)-3^(v(x^2-3)+1)+6vx-18.

Обозначим $$t=\sqrt{x^2-3}.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид

$$\sqrt{x}\,(9^t-3^t)=3^{2t+1}-3^{t+1}+6\sqrt{x}-18.$$

Преобразуем степени:

$$9^t=(3^2)^t=3^{2t},$$

поэтому

$$\sqrt{x}\,(3^{2t}-3^t)=3(3^{2t}-3^t)+6\sqrt{x}-18.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$\sqrt{x}\,(3^{2t}-3^t)-3(3^{2t}-3^t)-6(\sqrt{x}-3)=0,$$

$$(\sqrt{x}-3)(3^{2t}-3^t-6)=0.$$

Получаем два случая.

1. $$\sqrt{x}-3=0,$$

   $$\sqrt{x}=3,$$

   $$x=9.$$

2. $$3^{2t}-3^t-6=0.$$

   Положим $$y=3^t.$$ Тогда

   $$y^2-y-6=0,$$

   $$ (y-3)(y+2)=0.$$

   Так как $$y=3^t>0,$$ то $$y=3.$$ Следовательно,

   $$3^t=3,$$

   $$t=1.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x^2-3}=1,$$

   $$x^2-3=1,$$

   $$x^2=4,$$

   $$x=\pm 2.$$

   С учётом области определения $$x\ge 0$$ подходит только $$x=2.$$

Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

$$2; \ 9.$$