Упр.26.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 4^(x^2-x)-17·2^(x^2-x+2)+256=0; 2) 2^(1-2sin^2(x))=3·2^cos^(x)-4.

1) Преобразуем уравнение:

$$4^{x^2-x}-17\cdot 2^{x^2-x+2}+256=0$$

$$2^{2(x^2-x)}-17\cdot 4\cdot 2^{x^2-x}+256=0$$

Пусть $$y=2^{x^2-x}$$, тогда получаем:

$$y^2-68y+256=0$$

$$D=68^2-4\cdot 256=4624-1024=3600$$

$$y_{1,2}=\frac{68\pm 60}{2}$$

$$y_1=4,\quad y_2=64$$

1) Если $$2^{x^2-x}=4$$, то

$$x^2-x=2$$

$$x^2-x-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=2$$

2) Если $$2^{x^2-x}=64$$, то

$$x^2-x=6$$

$$x^2-x-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=3$$

2) Решим уравнение:

$$2^{1-2\sin^2 x}=3\cdot 2^{\cos^2 x}-4$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, то

$$2^{1-2\sin^2 x}=3\cdot 2^{1-\sin^2 x}-4$$

Пусть $$y=2^{1-\sin^2 x}$$, тогда

$$2y^2=3\cdot 2y-4$$

$$2y^2-6y+4=0$$

$$y^2-3y+2=0$$

$$D=9-8=1$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$

$$y_1=1,\quad y_2=2$$

1) Если $$2^{1-\sin^2 x}=1$$, то

$$1-\sin^2 x=0$$

$$\sin x=\pm 1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

2) Если $$2^{1-\sin^2 x}=2$$, то

$$1-\sin^2 x=1$$

$$\sin x=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=-2,\,-1,\,2,\,3$$; 2) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.