Упр.26.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 4^(x+v(x^2-2))-5·2^(x+v(x^2-2)-1)=6; 3) 4^tg^2(x)+8=3·2^(1/cos^2(x)).
2) 2^sin^2(x)+2^cos^2(x)=3;
$$4^{x+\sqrt{x^2-2}}-5\cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}-1}=6.$$
Преобразуем:
$$2\cdot 4^{x+\sqrt{x^2-2}}-5\cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}}-12=0.$$
Пусть $$y=2^{x+\sqrt{x^2-2}}$$, тогда $$4^{x+\sqrt{x^2-2}}=y^2$$. Получаем:
$$2y^2-5y-12=0.$$
$$D=25+96=121,$$
$$y_1=\frac{5-11}{4}=-\frac{3}{2}, \qquad y_2=\frac{5+11}{4}=4.$$
Так как $$y=2^{x+\sqrt{x^2-2}}>0,$$ то подходит только $$y=4.$$
Тогда
$$2^{x+\sqrt{x^2-2}}=4=2^2,$$
$$x+\sqrt{x^2-2}=2,$$
$$\sqrt{x^2-2}=2-x.$$
С учётом ОДЗ $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2.$$ Возводим в квадрат:
$$x^2-2=(2-x)^2=4-4x+x^2,$$
$$4x=6,$$
$$x=\frac{3}{2}.$$
$$2^{\sin^2 x}+2^{\cos^2 x}=3.$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем:
$$2^{\sin^2 x}+2^{1-\sin^2 x}=3.$$
Пусть $$y=2^{\sin^2 x},$$ тогда $$2^{1-\sin^2 x}=\frac{2}{y}.$$ Имеем:
$$y+\frac{2}{y}=3,$$
$$y^2-3y+2=0,$$
$$D=1,$$
$$y_1=1,\qquad y_2=2.$$
1) Если $$2^{\sin^2 x}=1,$$ то $$\sin^2 x=0,$$ значит $$\sin x=0,$$ откуда
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$2^{\sin^2 x}=2,$$ то $$\sin^2 x=1,$$ значит $$\sin x=\pm 1,$$ откуда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$4^{\tg^2 x}+8=3\cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}.$$
Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x,$$ то
$$4^{\tg^2 x}+8=3\cdot 2^{\tg^2 x+1}.$$
Пусть $$y=2^{\tg^2 x},$$ тогда $$4^{\tg^2 x}=y^2$$ и получаем:
$$y^2+8=3\cdot 2y,$$
$$y^2-6y+8=0,$$
$$D=4,$$
$$y_1=2,\qquad y_2=4.$$
1) Если $$2^{\tg^2 x}=2,$$ то $$\tg^2 x=1,$$ значит
$$\tg x=\pm 1,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$2^{\tg^2 x}=4,$$ то $$\tg^2 x=2,$$ значит
$$\tg x=\pm \sqrt{2},$$
$$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{3}{2}.$$
2) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
