Упр.26.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2+5x)^2-2x^2-10x-24=0; 2) 12/(x(x+2))-12/(x+1)^2=1.

1. $$\left(x^2+5x\right)^2-2x^2-10x-24=0.$$

   Положим $$y=x^2+5x.$$ Тогда получаем:

   $$y^2-2y-24=0.$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100.$$

   $$y_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}.$$

   Отсюда $$y_1=-4,\quad y_2=6.$$

   1) Если $$x^2+5x=-4,$$ то

   $$x^2+5x+4=0,$$

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2}.$$

   Получаем $$x=-4,\,-1.$$

   2) Если $$x^2+5x=6,$$ то

   $$x^2+5x-6=0,$$

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25+24=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}.$$

   Получаем $$x=-6,\,1.$$

2. $$\frac{12}{x(x+2)}-\frac{12}{(x+1)^2}=1.$$

   Положим $$y=x^2+2x+1=(x+1)^2.$$ Тогда $$x(x+2)=x^2+2x=y-1,$$ и уравнение принимает вид:

   $$\frac{12}{y-1}-\frac{12}{y}=1.$$

   Умножим на $$y(y-1)$$:

   $$12y-12(y-1)=y(y-1).$$

   $$12y-12y+12=y^2-y,$$

   $$y^2-y-12=0.$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=1+48=49,$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}.$$

   Отсюда $$y_1=-3,\quad y_2=4.$$

   1) Если $$x^2+2x+1=-3,$$ то

   $$x^2+2x+4=0,$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0,$$

   действительных корней нет.

   2) Если $$x^2+2x+1=4,$$ то

   $$x^2+2x-3=0,$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$

   Получаем $$x=-3,\,1.$$

Ответ

1) $$x=-6,\,-4,\,-1,\,1.$$ 2) $$x=-3,\,1.$$