Упр.26.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.33. Решите уравнение sin(x)-cos(x)=2x-1.

Перепишем уравнение в виде

$$\sin x — x = \cos x + x — 1.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sin x-x,$$

$$g(x)=\cos x+x-1.$$

Найдём их производные:

$$f'(x)=\cos x-1\le 0,$$

значит, функция $$f(x)$$ не возрастает на всей числовой прямой.

Далее,

$$g'(x)=1-\sin x\ge 0,$$

значит, функция $$g(x)$$ не убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция не возрастает, а другая не убывает, то равенство $$f(x)=g(x)$$ может выполняться не более чем при одном значении $$x$$.

Проверим $$x=0$$:

$$\sin 0-0=0,$$

$$\cos 0+0-1=1-1=0.$$

Следовательно, $$x=0$$ — решение уравнения. Так как решение единственное, других корней нет.

Ответ

$$0$$