Упр.26.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^3-7x-6=0; 3) x^4-9x^2+4x+12=0.
2) x^4-5x^3+8x^2-7x+3=0;

1) $$x^3-7x-6=0$$

Подберём целый корень: при $$x=-1$$ получаем

$$(-1)^3-7(-1)-6=-1+7-6=0.$$

Значит, $$x+1$$ — множитель:

$$x^3-7x-6=(x+1)(x^2-x-6).$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Тогда

$$ (x+1)(x-3)(x+2)=0, $$

откуда

$$x=-1,\; x=3,\; x=-2.$$

2) $$x^4-5x^3+8x^2-7x+3=0$$

Проверим рациональные корни. При $$x=1$$:

$$1-5+8-7+3=0,$$

значит, $$x-1$$ — множитель. При $$x=3$$:

$$81-135+72-21+3=0,$$

значит, $$x-3$$ — тоже множитель.

Тогда

$$x^4-5x^3+8x^2-7x+3=(x-1)(x-3)(x^2-x+1).$$

Решим уравнение

$$x^2-x+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=1-4=-3<0,$$

действительных корней нет. Поэтому

$$x=1,\; x=3.$$

3) $$x^4-9x^2+4x+12=0$$

Проверим корни. При $$x=-1$$:

$$1-9-4+12=0,$$

значит, $$x+1$$ — множитель. При $$x=2$$:

$$16-36+8+12=0,$$

значит, $$x-2$$ — тоже множитель.

Тогда

$$x^4-9x^2+4x+12=(x+1)(x-2)(x^2+x-6).$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$

Следовательно,

$$ (x+1)(x-2)^2(x+3)=0. $$

Отсюда

$$x=-1,\; x=2,\; x=-3.$$

Ответ

1) $$-2,\,-1,\,3$$; 2) $$1,\,3$$; 3) $$-3,\,-1,\,2$$.