Упр.26.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.29. Решите уравнение 4^(-|x+1|) log_3 (2-2x-x^2)=1.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$4^{-|x+1|}\log_3(2-2x-x^2)=1.$$

Так как $$4^{-|x+1|}>0$$ при любых $$x$$, а правая часть равна $$1$$, то удобно заметить, что произведение двух множителей равно единице. Проверим значение $$x=-1$$:

$$4^{-|{-1}+1|}=4^0=1,$$

$$2-2(-1)-(-1)^2=2+2-1=3,$$

$$\log_3 3=1.$$

Тогда левая часть равна

$$1\cdot 1=1,$$

значит, $$x=-1$$ — решение.

Проверим, есть ли другие решения. Для этого заметим, что

$$4^{-|x+1|}\le 1,$$

а также при существовании логарифма должно выполняться

$$2-2x-x^2>0.$$

Чтобы произведение двух множителей было равно $$1$$, необходимо, чтобы оба множителя были равны $$1$$:

$$4^{-|x+1|}=1 \quad \text{и} \quad \log_3(2-2x-x^2)=1.$$