Упр.26.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.28. Решите уравнение (2x-x^2)log_3 (2sin^2(пx/2)+1)=1.

Рассмотрим произведение

$$\left(2x-x^2\right)\log_3\left(2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)=1.$$

Обозначим

$$a=2x-x^2,\qquad b=\log_3\left(2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right).$$

Тогда нужно решить уравнение $$ab=1.$$

Заметим, что

$$2x-x^2=1-(x-1)^2\le 1,$$

причём равенство достигается только при $$x=1.$$

Кроме того, так как $$0\le \sin^2\frac{\pi x}{2}\le 1,$$ то

$$1\le 2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\le 3,$$

следовательно,

$$0\le \log_3\left(2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)\le 1,$$

и равенство $$\log_3\left(2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)=1$$ выполняется тогда и только тогда, когда

$$2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1=3,$$

то есть

$$\sin^2\frac{\pi x}{2}=1.$$

Чтобы произведение двух чисел, каждое из которых не превосходит 1, было равно 1, необходимо, чтобы оба множителя были равны 1. Значит,

$$2x-x^2=1$$

и

$$\log_3\left(2\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)=1.$$

Из первого уравнения получаем

$$2x-x^2=1$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$

Проверим: при $$x=1$$

$$2\sin^2\frac{\pi}{2}+1=3,$$

поэтому

$$\log_3 3=1,$$

и левая часть исходного уравнения равна

$$1\cdot 1=1.$$

Ответ

$$x=1.$$