Упр.26.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(11x/2)cos(x/4)=1; 2) sin(2x)-sin(6x)=-2.

1) $$\cos \frac{11x}{2}\cos \frac{x}{4}=1$$

Так как $$\cos \frac{11x}{2}\le 1$$ и $$\cos \frac{x}{4}\le 1,$$ то произведение двух чисел, не превосходящих 1, равно 1 только в случае, когда каждое из них равно 1:

$$\cos \frac{11x}{2}=1,\qquad \cos \frac{x}{4}=1.$$

Тогда

$$\frac{11x}{2}=2\pi n,\qquad \frac{x}{4}=2\pi m,\qquad n,m\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{4\pi n}{11},\qquad x=8\pi m.$$

Общими являются значения

$$x=8\pi k,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\sin 2x-\sin 6x=-2$$

Так как $$\sin 2x\ge -1$$ и $$-\sin 6x\ge -1,$$ то левая часть не может быть меньше $$-2.$$ Равенство достигается только при

$$\sin 2x=-1,\qquad \sin 6x=1.$$

Тогда

$$2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad 6x=\frac{\pi}{2}+2\pi m,\qquad n,m\in \mathbb{Z}.$$

Из первого уравнения получаем

$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

Проверим это в условии $$\sin 6x=1$$:

$$6x=6\left(\frac{3\pi}{4}+\pi n\right)=\frac{9\pi}{2}+6\pi n=\frac{\pi}{2}+2\pi(2+3n),$$

значит, условие выполняется.

Следовательно,

$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=8\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 2) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$