Упр.26.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2x)+cos(3x/4)=2; 2) sin(5x/2)+cos(6x)=2.

1. $$\cos 2x+\cos \frac{3x}{4}=2$$

   Так как $$\cos 2x\le 1$$ и $$\cos \frac{3x}{4}\le 1,$$ то сумма двух выражений не может быть больше $$2.$$

   Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

   $$\cos 2x=1,\qquad \cos \frac{3x}{4}=1.$$

   Тогда

   $$
   2x=2\pi n,\qquad \frac{3x}{4}=2\pi m,\qquad n,m\in \mathbb{Z}.
   $$

   Из первого уравнения получаем $$x=\pi n.$$ Подставим во второе:

   $$
   \frac{3\pi n}{4}=2\pi m \;\Rightarrow\; 3n=8m.
   $$

   Значит, $$n=8k,$$ где $$k\in \mathbb{Z},$$ и тогда

   $$x=8\pi k.$$

2. $$\sin \frac{5x}{2}+\cos 6x=2$$

   Так как $$\sin \frac{5x}{2}\le 1$$ и $$\cos 6x\le 1,$$ то сумма равна $$2$$ только при

   $$\sin \frac{5x}{2}=1,\qquad \cos 6x=1.$$

   Тогда

   $$
   \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad 6x=2\pi m,\qquad n,m\in \mathbb{Z}.
   $$

   Из первого уравнения:

   $$
   x=\frac{\pi}{5}+\frac{4\pi n}{5}.
   $$

   Из второго:

   $$
   x=\frac{\pi m}{3}.
   $$

   Подбирая общие значения, получаем

   $$x=\pi+4\pi k,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=8\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$ 2) $$x=\pi+4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$