Упр.26.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(пx/6)=x^2-6x+10; 2) sin(2x)=x-x^2-1.

Подробный ответ

1) $$\sin\frac{\pi x}{6}=x^2-6x+10.$$

Рассмотрим правую часть:

$$x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1.$$

Левая часть не превосходит 1:

$$\sin\frac{\pi x}{6}\le 1.$$

Значит, равенство возможно только при

$$x^2-6x+10=1,$$

то есть

$$x^2-6x+9=0,$$

$$\left(x-3\right)^2=0,$$

$$x=3.$$

Проверка:

$$\sin\frac{\pi\cdot 3}{6}=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

$$3^2-6\cdot 3+10=1.$$

Равенство верно.

2) $$\sin 2x=x-x^2-1.$$

Преобразуем правую часть:

$$x-x^2-1=-\left(x^2-x+1\right)=-\left(\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\right)\le -\frac34.$$

Но левая часть удовлетворяет неравенству

$$\sin 2x\ge -1.$$

Чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы правая часть могла принимать значения из отрезка $$[-1;1]$$. Проверим максимум правой части:

$$x-x^2-1\le -\frac34<0.$$

Следовательно, правая часть всегда отрицательна, а левая часть может быть и положительной, и отрицательной. Однако при $$x=\frac12$$ правая часть равна $$-\frac34$$, а для остальных $$x$$ она ещё меньше. Значение $$\sin 2x=-\frac34$$ возможно, но нужно одновременно выполнить равенство с выражением $$x-x^2-1$$. Рассмотрим функцию

$$f(x)=x-x^2-1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ имеем:

$$f(0)=-1,\qquad f(1)=-1,$$

а максимум достигается при $$x=\frac12$$ и равен $$-\frac34.$$

Значит, $$x-x^2-1\in\left[-1;-\frac34\right].$$

Но тогда для решения нужно, чтобы $$\sin 2x$$ принимал такие же значения. Проверка показывает, что при этом уравнение не имеет действительных корней.