Упр.26.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2cos((x^2-4x)/3)=x^2-8x+18; 2) 5sin(x)-12cos(x)=x^2-2x+14.

1. Рассмотрим уравнение

   $$2\cos\frac{x^2-4x}{3}=x^2-8x+18.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$x^2-8x+18=(x-4)^2+2\ge 2.$$

   Левая часть не превосходит $$2$$, так как

   $$2\cos\frac{x^2-4x}{3}\le 2.$$

   Значит, для равенства нужно, чтобы обе части были равны $$2$$.

   Тогда

   $$x^2-8x+18=2,$$

   $$x^2-8x+16=0,$$

   $$\left(x-4\right)^2=0,$$

   $$x=4.$$

   Проверка:

   $$2\cos\frac{4^2-4\cdot 4}{3}=2\cos 0=2,$$

   $$4^2-8\cdot 4+18=2.$$

2. Рассмотрим уравнение

   $$5\sin x-12\cos x=x^2-2x+14.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$x^2-2x+14=(x-1)^2+13\ge 13.$$

   Оценим левую часть. Для функции

   $$f(x)=5\sin x-12\cos x$$

   имеем

   $$f'(x)=5\cos x+12\sin x.$$

   Пусть $$f'(x)=0$$. Тогда

   $$5\cos x+12\sin x=0,$$

   $$\tan x=-\frac{5}{12}.$$

   Из этого следует, что

   $$\sin x=\frac{5}{13}, \qquad \cos x=-\frac{12}{13}$$

   или

   $$\sin x=-\frac{5}{13}, \qquad \cos x=\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$f(x)=5\sin x-12\cos x=\pm 13.$$

   Следовательно, наибольшее значение левой части равно $$13$$, а значит

   $$5\sin x-12\cos x\le 13.$$

   Чтобы равенство с правой частью было возможно, нужно, чтобы обе части были равны $$13$$:

   $$x^2-2x+14=13,$$

   $$x^2-2x+1=0,$$

   $$\left(x-1\right)^2=0,$$

   $$x=1.$$

   Проверим:

   $$5\sin 1-12\cos 1\ne 13,$$

   значит, это значение не подходит.

Ответ

1) $$x=4$$; 2) корней нет.