Упр.26.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-2)^(1/4)+(19-x)^(1/4)=3; 2) (x-7)^(1/3)+v(x+1)=4.

1. Пусть $$a=\sqrt[4]{x-2}$$ и $$b=\sqrt[4]{19-x}$$. Тогда

   $$x-2=a^4,\quad 19-x=b^4,\quad a+b=3.$$

   Из первых двух равенств получаем

   $$x=a^4+2=19-b^4,$$

   значит,

   $$a^4+b^4=17.$$

   Так как $$a=3-b,$$ то

   $$ (3-b)^4+b^4=17.$$

   После раскрытия скобок:

   $$2b^4-12b^3+54b^2-108b+64=0,$$

   $$b^4-6b^3+27b^2-54b+32=0,$$

   $$ (b-1)(b^3-5b^2+22b-32)=0,$$

   $$ (b-1)(b-2)(b^2-3b+16)=0.$$

   Отсюда с учётом того, что $$b\ge 0,$$ получаем:

   $$b=1 \quad \text{или} \quad b=2.$$

   Тогда

   $$x=19-b^4.$$

   Если $$b=1,$$ то $$x=19-1=18.$$

   Если $$b=2,$$ то $$x=19-16=3.$$

2. Пусть $$a=\sqrt[3]{x-7}$$ и $$b=\sqrt{x+1}.$$ Тогда

   $$x-7=a^3,\quad x+1=b^2,\quad a+b=4.$$

   Из первых двух равенств:

   $$x=a^3+7=b^2-1,$$

   а значит, $$b=4-a.$$ Подставим:

   $$a^3+7=(4-a)^2-1,$$

   $$a^3+7=16-8a+a^2-1,$$

   $$a^3-a^2+8a-8=0,$$

   $$a^2(a-1)+8(a-1)=0,$$

   $$ (a^2+8)(a-1)=0.$$

   Так как $$a^2+8\ne 0,$$ то $$a=1.$$ Тогда

   $$x=1^3+7=8.$$

Ответ

1) $$3,\ 18$$; 2) $$8$$.