Упр.26.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.21. Решите уравнение sin(2x)+4sin(x)-4cos(x)-1=0.

Положим $$y=\sin x-\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-\sin 2x.$$

Исходное уравнение преобразуем:

$$\sin 2x+4\sin x-4\cos x-1=0,$$

$$\sin 2x+4(\sin x-\cos x)-1=0,$$

$$\sin 2x+4y-1=0.$$

Так как $$\sin 2x=1-y^2,$$ получаем

$$1-y^2+4y-1=0,$$

$$y^2-4y=0,$$

$$y(y-4)=0.$$

Отсюда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=4.$$

1) Если $$\sin x-\cos x=0,$$ то

$$\sin x=\cos x,$$

$$\tan x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) Если $$\sin x-\cos x=4,$$ то это невозможно, так как

$$|\sin x-\cos x|\le \sqrt{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$