Упр.26.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.20. Решите уравнение sin(2x)+3(sin(x)+cos(x))+1=0.

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=\sin 2x+1,$$

то есть $$\sin 2x=y^2-1.$$ Подставим это в уравнение:

$$y^2-1+3y+1=0,$$

$$y^2+3y=0,$$

$$y(y+3)=0.$$

Отсюда:

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=-3.$$

Если $$y=-3,$$ то $$\sin x+\cos x=-3,$$ что невозможно, так как $$\sin x+\cos x \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}].$$

Остаётся случай $$\sin x+\cos x=0.$$ Тогда

$$\sin x=-\cos x,$$

$$\tan x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$