Упр.26.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) |x^2-2x-5|=|x-1|; 2) 2v(x+5)=x+2;
2) |x^2+6x-16|=8-4x; 5) 2^(8-2x^2)=2^(x^2-1);
3) v(2x^2-3x+1)=v(x^2+2x-3); 6) lg (x^2+2x-10)=lg (3x+2).
$$|x^2-2x-5|=|x-1|$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2-2x-5=x-1$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=3^2+4\cdot 4=25$$
$$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\quad x_2=\frac{3+5}{2}=4$$
$$x^2-2x-5=-(x-1)$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1^2+4\cdot 6=25$$
$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$
Получаем корни: $$x=-2,\,-1,\,3,\,4$$.
$$|x^2+6x-16|=8-4x$$
Так как правая часть неотрицательна, то
$$8-4x\ge 0,\quad x\le 2$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2+6x-16=8-4x$$
$$x^2+10x-24=0$$
$$D=10^2+4\cdot 24=196$$
$$x_1=\frac{-10-14}{2}=-12,\quad x_2=\frac{-10+14}{2}=2$$
$$x^2+6x-16=-(8-4x)$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$D=2^2+4\cdot 8=36$$
$$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$
С учётом условия $$x\le 2$$ получаем: $$x=-12,\,-4,\,2$$.
$$\sqrt{2x^2-3x+1}=\sqrt{x^2+2x-3}$$
Возведём в квадрат:
$$2x^2-3x+1=x^2+2x-3$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=5^2-4\cdot 4=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad x_2=\frac{5+3}{2}=4$$
Проверим область определения:
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$ (x+3)(x-1)\ge 0 $$
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$
Оба найденных корня подходят.
$$2\sqrt{x+5}=x+2$$
Область определения:
$$x+5\ge 0,\quad x\ge -5$$
Кроме того, правая часть неотрицательна:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2$$
Возведём в квадрат:
$$4(x+5)=(x+2)^2$$
$$4x+20=x^2+4x+4$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm 4$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
$$2^{8-2x^2}=2^{x^2-1}$$
Так как основания равны и больше 1, приравниваем показатели:
$$8-2x^2=x^2-1$$
$$3x^2=9$$
$$x^2=3$$
$$x=\pm \sqrt{3}$$
$$\lg(x^2+2x-10)=\lg(3x+2)$$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$$x^2+2x-10=3x+2$$
$$x^2-x-12=0$$
$$D=1^2+4\cdot 12=49$$
$$x_1=\frac{1-7}{2}=-3,\quad x_2=\frac{1+7}{2}=4$$
Проверим ОДЗ:
$$3x+2>0,\quad x>-\frac{2}{3}$$
Подходит только $$x=4$$.
Ответ
1) $$-2,\,-1,\,3,\,4$$; 2) $$-12,\,-4,\,2$$; 3) $$1,\,4$$; 4) $$4$$; 5) $$-\sqrt{3},\,\sqrt{3}$$; 6) $$4$$.
