Упр.26.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.19. Решите уравнение 22cos^2(x)+4sin(2x)=7.

Подробный ответ

Преобразуем уравнение:

$$22\cos^2 x+4\sin 2x=7.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$22\cos^2 x+8\sin x\cos x=7.$$

Перенесём всё в одну часть и выразим через $$\sin^2 x$$ и $$\cos^2 x$$:

$$22\cos^2 x+8\sin x\cos x-7=0,$$

$$22\cos^2 x+8\sin x\cos x-7(\sin^2 x+\cos^2 x)=0,$$

$$15\cos^2 x+8\sin x\cos x-7\sin^2 x=0.$$

Если $$\cos x=0,$$ то левая часть исходного уравнения равна $$0,$$ а правая — $$7,$$ значит, таких решений нет. Поэтому можно разделить на $$\cos^2 x$$:

$$15+8\tan x-7\tan^2 x=0,$$

$$7\tan^2 x-8\tan x-15=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-8)^2-4\cdot 7\cdot(-15)=64+420=484,$$

$$\tan x=\frac{8\pm 22}{14}.$$

Тогда

$$\tan x_1=-1,\qquad \tan x_2=\frac{15}{7}.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\arctan\frac{15}{7}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$