Упр.26.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3sin^2(x)+2sin(x)cos(x)=2; 2) 5cos^3(x)=sin(x)-cos(x).

1) $$3\sin^2 x+2\sin x\cos x=2$$

Перенесём всё в одну часть и выразим через $$\tg x$$:

$$3\sin^2 x+2\sin x\cos x-2=0$$
$$3\sin^2 x+2\sin x\cos x-2\sin^2 x-2\cos^2 x=0$$
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$

При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+2\tg x-2=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=4+8=12$$
$$\tg x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt3}{2}=-1\pm\sqrt3$$

Значит,

$$x=\arctg(-1+\sqrt3)+\pi n,\quad x=\arctg(-1-\sqrt3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$5\cos^3 x=\sin x-\cos x$$

Преобразуем правую часть, используя $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$5\cos^3 x=(\sin x-\cos x)(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
$$5\cos^3 x=\sin^3 x+\sin x\cos^2 x-\sin^2 x\cos x-\cos^3 x$$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^3 x$$ при $$\cos x\ne 0$$:

$$5=\tg^3 x+\tg x-\tg^2 x-1$$
$$\tg^3 x-\tg^2 x+\tg x-6=0$$

Разложим на множители:

$$\tg^3 x-\tg^2 x+\tg x-6=(\tg x-2)(\tg^2 x+\tg x+3)$$

Тогда

$$\tg x-2=0$$

так как уравнение $$\tg^2 x+\tg x+3=0$$ не имеет действительных корней.

Следовательно,

$$\tg x=2,$$
$$x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\arctg(-1+\sqrt3)+\pi n,\; x=\arctg(-1-\sqrt3)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$