Упр.26.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 26.16. Решите уравнение 4(x^2-x+1)^2+5(x+1)^2=12(x^3+1).

Обозначим:

$$a=x^2-x+1,\qquad b=x+1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$4a^2+5b^2=12ab.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4a^2-12ab+5b^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $a$:

$$4a^2-12ba+5b^2=0.$$

Тогда

$$D=(12b)^2-4\cdot 4\cdot 5b^2=144b^2-80b^2=64b^2.$$

Следовательно,

$$a=\frac{12b\pm 8b}{2\cdot 4}.$$

Получаем два случая:

$$a=\frac{b}{2}\qquad \text{или}\qquad a=\frac{5b}{2}.$$

1) Пусть $$x^2-x+1=\frac{x+1}{2}.$$

Тогда

$$2x^2-2x+2=x+1,$$

$$2x^2-3x+1=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$

$$x=\frac{3\pm 1}{4}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=1.$$

2) Пусть $$x^2-x+1=\frac{5(x+1)}{2}.$$

Тогда

$$2x^2-2x+2=5x+5,$$

$$2x^2-7x-3=0.$$

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot(-3)=49+24=73,$$

$$x=\frac{7\pm \sqrt{73}}{4}.$$

Ответ

$$x=\frac12,\;1,\;\frac{7-\sqrt{73}}{4},\;\frac{7+\sqrt{73}}{4}.$$