Упр.26.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3x^4+5x^3-16x^2+5x+3=0; 2) 5(x^2+36/x^2)=56(x-6/x).

1) $$3x^4+5x^3-16x^2+5x+3=0$$

Сгруппируем слагаемые и введём замену:

$$3x^4+5x^3-16x^2+5x+3=0$$
$$3x^2+\frac{5}{x}-16+\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}=0$$
$$3\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\frac{1}{x}\right)-22=0$$
$$3\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+5\left(x+\frac{1}{x}\right)-22=0.$$

Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда получаем:

$$3y^2+5y-22=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-22)=25+264=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 17}{6}.$$

Отсюда:

$$y_1=-\frac{11}{3}, \qquad y_2=2.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{3}$$, то

$$3x^2+11x+3=0,$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot 3=121-36=85,$$
$$x=\frac{-11\pm \sqrt{85}}{6}.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=2$$, то

$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$

2) $$5\left(x^2+\frac{36}{x^2}\right)=56\left(x-\frac{6}{x}\right)$$

Преобразуем левую часть:

$$5\left(x^2-12+\frac{36}{x^2}\right)+60=56\left(x-\frac{6}{x}\right)$$
$$5\left(x-\frac{6}{x}\right)^2-56\left(x-\frac{6}{x}\right)+60=0.$$

Пусть $$y=x-\frac{6}{x}$$. Тогда:

$$5y^2-56y+60=0.$$

$$D=56^2-4\cdot 5\cdot 60=3136-1200=1936,$$
$$y_{1,2}=\frac{56\pm 44}{10}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{6}{5}, \qquad y_2=10.$$

1) Если $$x-\frac{6}{x}=\frac{6}{5}$$, то

$$5x^2-6x-30=0,$$
$$D=6^2+4\cdot 5\cdot 30=36+600=636,$$
$$x=\frac{6\pm \sqrt{636}}{10}=\frac{3\pm \sqrt{159}}{5}.$$

2) Если $$x-\frac{6}{x}=10$$, то

$$x^2-10x-6=0,$$
$$D=10^2+4\cdot 6=100+24=124,$$
$$x=\frac{10\pm \sqrt{124}}{2}=5\pm \sqrt{31}.$$

Ответ

1) $$x=1,\ \frac{-11\pm \sqrt{85}}{6}$$; 2) $$x=5\pm \sqrt{31},\ \frac{3\pm \sqrt{159}}{5}$$.